01背包的学习

问题描述：

          有 n 个重量和价值分别为 w[i],  v[i] 的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过 W 的物品， 所求有挑选方案中价值中价值总和的最大值。

         （限制条件：1 <= n <= 100, 1 <= w[i], v[i] <= 100, 1 <= W <= 10000）

输入：

4 5  （n, W）

2 3  （w[i],  v[i]）

1 2

3 4

2 2

输出：

7

每一件物品有两种结果：放入或是不放入背包。于是可以用搜索来解决。

但是这样会产生高度为 n 这样大的递归树，在限制的时间内会无法完成。看一下这样产生的树：

这样的搜索会有重复调用，造成时间和空间上的浪费。

对于这种情况，可以采用动态规划的方式解决。（动态规划：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解）

从第i个物品开始挑选总重小于j时，总价值的最大值，其递推式：

dp[n][j] = 0;

j < w[i] :

             dp[i][j] = dp[i+1][j]

其他：

             dp[i][j] = max( dp[ i+1 ][j] ,  dp[ i+1 ][ j-w[i] ] + v[i]

void fun()
{
    for (int i = n-1; i >= 0; i--)
    {
        for (int j = 0; j <= W; j++)
        {
            if (j < w[i])
                dp[i][j] = dp[i+1][j];
            else
                dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j-w[i]] + v[i]);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[0][W]);
}

参考书籍 ：《挑战程序设计竞赛》