铁一中18年8.23模拟赛T1

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探讨了一个涉及1~n排列的双端队列问题，目标是在满足特定V型结构下，寻找第k个弹出元素为1的方案数量。通过动态规划方法，将问题转化为寻找满足条件的弹出序列计数，最终给出了解决方案和代码实现。

题意：

给你1~n的排列，全部插入双端队列，最终队列必须满足1的左边数列递减，右边递增，即一个V型，再以任意顺序全部弹出。问第k个弹出的数为1的方案有多少种(mod 1e9+7)，注意，两个方案当且仅当它们某一次弹出的数不同时视为不同。

题解：

首先我们要推出个有用的结论来转化题意，在这里，我们的重点是每次弹出的数。我们注意到每次能弹出的数为队首或队尾，要么是左边最大，要么是右边最大，显然其中一个必然是剩下全部数中最大的，不妨设是队首。又因为以前左边弹出的数都比队首大，右边弹出的数都比队尾大，所以队尾必然比所有以前弹出的所有数都小，所以队尾必然比最小值小。整理一下，每次能弹出的数只有两种可能
1. 没弹的数中最大
2. 比已弹出的数中最小还要小

用 $dp[i][j]$ 表示已弹i个数，这i个数的最小值为j的方案数。

转移时有两种情况：一种是这次（第 $i$ 次）弹出j，那么只要上一次时最小值大于j即可,同时这时j满足条件2，所以可以弹出j；因为是排列，只有一个j，所以这种情况下方案数为 $\sum_{k=j+1}^{n}dp[i-1][k]*1$

另一种是以前最小为j，这次弹出数比j大，要转移过来的状态显然为dp[i-1][j]，但这时要满足 $i+j-1\le n$ 剩下的数中才有比j大的数，否则这种情况下方案数为0。在剩下的数中有比j大的数的情况下，条件2显然不能满足（要弹出的数比j大），对于dp[i-1][j]中每一种确定的方案，没弹出的数字也确定了，因为是排列，没弹的数中最大的数也只有对应的一个，所以这种情况下方案数为 $dp[i-1][j]*1$

那么最终方程为 $dp[i][j]=\sum_{k=j}^{n}dp[i-1][k]$ ，用s[i]数组做前缀和优化，时间复杂度为O( $n^2$ )

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
#define N 2005
const int mod=1e9+7;
int n,k;
int dp[N][N],ss[N];

int MUL(int a,int b)
{
    int ret=0;
    while(b)
    {
        if((b&1))
            ret=(ret+a)%mod;
        b>>=1;
        a=(a+a)%mod;
    }
    return ret;
}

int KSM(int a,int p)
{
    int ret=1;
    while(p)
    {
        if((p&1))
            ret=MUL(ret,a);
        p>>=1;
        a=MUL(a,a);
    }
    return ret;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dp[1][i]=1,ss[i]=n-i+1;
    for(int i=2;i<=k;i++)
        for(int j=n;j>=1;j--)
        {
            dp[i][j]=(i+j-1<=n?ss[j]:0);
            ss[j]=(ss[j+1]+dp[i][j])%mod;
        }
    printf("%d\n",MUL(KSM(2,n-k-1),((dp[k][1]-dp[k-1][1])%mod+mod)%mod));
    return 0;
}