jzoj5436 【NOIP2017提高A组集训10.30】Group_5436. 【noip2017提高a组集训10.30】group-优快云博客

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本博客主要解析NOIP2017提高组集训的一道题目，涉及动态规划（dp）的运用。首先对输入数组进行排序，然后通过状态转移方程解决极差和方案数的问题。在原问题中，由于第三维的范围过大，通过数学优化将问题转化为数列裂项相消，有效降低了复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

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Description

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Input

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Output

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Sample Input

10 113
28 3 39 90 46 14 55 35 48 47

Sample Output

62453

Data Constraint
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题解

先把a数组排一下序
设f[i][j][k]表示当前做了(1–i-1)这些点，现在有j个组还没有结束，已经选完的组的极差加上没选完的组的第一个数的相反数的和的方案数
那么转移有4种方案：
1：新加入的a[i]不作为任何一个组的开头或结尾
2：为其中一个组的开头
3：为其中一个组的结尾
4：自己单独成为一个组
我比赛的时候就是这样打的，但是这个做法的k范围十分的大（因为可能现在开了很多组）
题解有一个很精妙的优化第三维的方法，我们可以联想一下数学中数列的裂项相消a[j]-a[i]=a[j]-a[j-1]+a[j-1]+…+a[i+1]-a[i]
那么我们就可以把左式转化为右式，然后分步累加，这样我们第三维的范围就变成了[0,k]了

贴代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fo1(i,b,a) for(i=b;i>=a;i--)
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn=205,md=1e9+7;
int f[maxn][105][1005];
int a[205];
int i,j,k,p,l,n,tp,v;
ll ans,t1,t2;

int main(){
    freopen("group.in","r",stdin);
    freopen("group.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&p);
    fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    f[1][0][0]=1;
    fo(i,1,n){
        fo(j,0,min(n/2,i-1)){
            fo(k,0,p-j*(a[i]-a[i-1])){
                v=(a[i]-a[i-1])*j+k;
                t1=f[i][j][k]; t2=f[i+1][j][v];
                t2=(t2+t1*(j+1))%md;
                f[i+1][j][v]=t2;
                f[i+1][j+1][v]=(f[i+1][j+1][v]+t1)%md;
                if (j){
                    t2=f[i+1][j-1][v];
                    t2=(t2+t1*j)%md;
                    f[i+1][j-1][v]=t2;
                }
            }
        }
    } 
    fo(k,0,p){
        t1=f[n+1][0][k];
        ans=(ans+t1)%md;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}