Python树

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原创最新推荐文章于 2026-08-12 10:21:05 发布 323 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

树

非线性结构
树是 n(n>=0) 个元素的集合
- n = 0 时，称为空树
- 树只有一个特殊的没有前驱的元素，称为树的根 Root
- 树中除了根节点外，其余元素只能有一个前驱，可能有零个或者多个后继
递归定义
- 树 T 是 n(n>=0) 个元素的集合。n = 0 时，称为空树
- 有且只有一个特殊元素根，剩余元素都可以被划分为 m 个互不相交的集合 T1、T2、T3、…、Tm，而每一个集合都是树，称为 T 的子树 Subtree
- 子树也有自己的根

有序树：结点的子树是有顺序的（兄弟有大小，有先后次序），不能交换
无序树：结点的子树是无序的，可以交换
路劲：树中的 k 个结点 n1、n2…、nk，满足 ni 是 n(i+1) 的双亲，称为 n1 到 nk 的一条路径。就是一条线串下来的，前一个都是后一个的父（前驱）结点
路径长度 = 路径上结点数 - 1 ，也是分支数
森林：m(m>=0) 棵不相交的树的集合
- 对于结点而言，其子树的集合就是森林。A 结点的 2 棵子树的集合就是森林

树的特点
- 唯一的根
- 子树不相交
- 除了根以外，每个元素只能有一个前驱，可以有零个或多个后继
- 根结点没有双亲结点（前驱），叶子结点没有孩子结点（后继）
- vi 是 vj 的双亲，则 L(vi) = L(vj) -1 ，也就是说双亲比孩子结点的层次小1
堂兄弟的双亲不一定是兄弟关系
- 堂兄弟定义是，双亲结点是同一层的结点
- 下图 G 和 J 是堂兄弟，因为它们的双亲结点 D 和 E 在第三层，依然是堂兄弟
- 因此，堂兄弟的双亲不一定是兄弟关系

性质2
- 深度为 k 的二叉树，至多有 2^k -1 个结点 (k >= 1)
- 一层 2-1 = 1
- 二层 4-1 = 1 + 2 = 3
- 三层 8-1 = 1 + 2 + 4 = 7

性质3
- 对任何一棵二叉树 T，如果其终端节点数为 n0 ，度数为 2 的结点为 n2，则有 n0 = n2 +1
- 换句话说，就是叶子节点数 -1 就等于度数为 2 的节点数
- 证明：
  - 总结点数为 n = n0 + n1 + n2 ，n1 为度数为 1 的结点总数。
  - 一棵树的分支数为 n - 1，因为除了根结点外，其余结点都有一个分支，即 n0 + n1 + n2 -1
  - 分支数还等于 n00 + n11 + n22，n2 是 2 分支结点所以乘以 2 ，2n2 + n1
  - 可得 2*n2 + n1 = n0 + n1 + n2 -1 => n2 = n0 -1
其他性质
- 高度为 k 的二叉树，至少有 k 个结点。
- 含有 n(n >= 1) 的结点的二叉树高度至多为 n 。和上一句一个意思
- 含有 n(n >= 1) 的结点的二叉树的高度至多为 n ，最小为 math.ceil(log2(n+1))，不小于对数值的最小整数，向上取整
  - 假设高度为 h ， 2^h -1 = n => h = log2(n+1) ，层次数是取整。如果是8个结点，3.1699就要向上取整为 4，为 4 层

性质5
- 如果有一棵 n 个结点的完全二叉树（深度为性质4），结点按照层次编号，如下图
- 如果 i = 1，则结点 i 是二叉树的根，无双亲；如果 i > 1，则其双亲是 int(i/2)，向下取整。就是子节点的编号整除2得到的就是父节点的编号。父结点如果是 i ，那么做孩子结点就是 2I ，右孩子结点就是 2i + 1
- 如果 2i > n ，则结点 i 无左孩子，即结点 i 为叶子结点；否则其左孩子结点存在编号为 2i
- 如果 2i +1 > n ，则结点 i 无右孩子，注意这里并不能说明结点 i 没有左孩子；否则右孩子结点存在编号为 2i + 1