{题解}[jzoj4924]【NOIP2017提高组模拟12.17】向再见说再见

本文提出了一种针对特定计数问题的优化算法，通过状态压缩和动态规划技巧，有效地降低了原始算法的时间复杂度，从立方级别优化到了平方级别。文章详细介绍了算法的设计思路和实现过程，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Analysis

为了方便叙述，先将 $A,B$ 分别排序
简单的可以想到

设 F [i] [a] [b] 表 示 前 i 个 人 ， A 赢 a 场 ， B 赢 b 场 方 案 数

$设F[i][a][b]表示前i个人，A赢a场，B赢b场方案数$
方程显然，复杂度

O(n3) $O(n^3)$
然而出题人说

于是，不得已，推翻所有，重新思考。
如果要求 $O(n^2)$ 则不得不去掉一维，简单想到

设 F [i] [a] 表 示 前 i 个 人 ， 得 a 分 方 案 数

$设F[i][a]表示前i个人，得a分方案数$
也就是说，我们扫一遍每个人，再考虑赢多少场。
这样可行吗?
仔细推敲，可以发现，我们难以知道对于a[i]来讲，他会输给谁，也就难以计算扣分后的方案数
不过，可以加一个限制条件:

设 F [i] [a] 表 示 前 i 个 人 ， A 赢 a 场 方 案 数

$设F[i][a]表示前i个人，A赢a场方案数$
也就是说，不考虑输的情况。转移简单，也就是考虑找前面任何一个人击败

F[i−1][j−1]∗可以击败的方案数 $F[i - 1][j - 1] * 可以击败的方案数$ ，或者放着不管

F[i−1][a] $F[i - 1][a]$

接着考虑 $F[n][i]$ 也就是有i人必赢，考虑将剩下(n-i)人乱排
设 $G[i] = F[n][i] * (n - i)!$
也就是至少赢i场的方案数
剩下的也就是去重了
设 $H[i]为恰好赢i场方案数$
显然有 $G[i] = \sum _{j = i} ^{n}H[j] * C_j^i$
简单移项即可

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const long long N = 2020, Mo = 1000000007;
long long n,k;
long long a[N],b[N];
long long h[N],f[N][N],g[N],jc[N],ny[N];
long long C(long long x,long long y)
{
    return (((jc[x] * ny[x - y]) % Mo * ny[y]) % Mo);
}
long long Qsm(long long a,long long b)
{
    long long x = 1;
    while (b > 0)
    {
          if (b & 1) x = (x * a) % Mo;
          b >>= 1;
          a = (a * a) % Mo;
    }
    return x;
} 
int main()
{
    freopen("D:/LiuYuanHao/4924.in","r",stdin);
    scanf("%d%d", &n, &k);
    jc[0] = 1;
    for (long long i = 1;i <= n;i ++) 
        jc[i] = (jc[i - 1] * i) % Mo, ny[i] = Qsm(jc[i],Mo - 2);

    for (long long i = 1;i <= n;i ++) scanf("%d", &a[i]);
    for (long long i = 1;i <= n;i ++) scanf("%d", &b[i]);
    sort(a + 1,a + 1 + n);
    sort(b + 1,b + 1 + n);

    long long l = 0;
    f[0][0] = 1;
    for (long long i = 1;i <= n;i ++)
    {
        f[i][0] = 1;
        while (b[l + 1] < a[i] && l < n) l ++; 
        for (long long j = 1;j <= i;j ++)
            f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] * max((long long)0,l - j + 1) + f[i - 1][j]) % Mo;
    }
    for (long long i = 1;i <= n;i ++)
        g[i] = (f[n][i] * jc[n - i]) % Mo;
    h[n] = g[n];
    for (long long i = n - 1;i >= 1;i --)
    {
        h[i] = g[i];
        for (long long j = i + 1;j <= n;j ++)
            h[i] = (h[i] - h[j] * C(j,i) + Mo * 10) % Mo;
    }
         if ((n + k) & 1 == 1) printf("0");
    else if (k != 0) printf("%lld", (h[(k + n) >> 1] + h[(n - k) >> 1]) % Mo);
    else printf("%lld", h[(n + k) >> 1]);
}