Poj3661 Usaco2008JanSilver Running

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动态规划

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本文介绍了一种算法，用于解决奶牛Bessie通过合理安排跑步与休息时间以达到最大跑步距离的问题。该算法使用动态规划方法，考虑了跑步带来的疲劳累积与恢复条件。

题目大意
奶牛们想要变成更强的运动员，所以Bessie开始了一项N分钟的训练，在每分钟，她可以选择跑步或者休息1整分钟
Bessie所能奔跑的极限距离，取决于她的“疲劳值”，一个一开始是0的值。当她选择在第i分钟奔跑时，她将会跑 $D_i$ 米，并且她的疲劳值将会增加1，但是这个值不能超过M。如果她选择休息，她的疲劳值将会每分钟减少1点。她直到疲劳值减少到0的时候才能再次开始奔跑。
N分钟的锻炼结束后，Bessie的疲劳值必须为0，不然她没有剩余的精力来应对剩下的一天。
算出Bessie能跑多远？

Input

Line 1: Two space-separated integers: N and M
Lines 2..N+1: Line i+1 contains the single integer: Di

Output

Line 1: A single integer representing the largest distance Bessie can run while satisfying the conditions.

Sample Input

5 2
5
3
4
2
10
Sample Output

Bessie走了i分钟，疲劳值为j，状态中不同的i会有不同的j，所以开二维数组
因而设dp[i][j]为Bessie走了i分钟疲劳值为j时的最远距离，这样问题就转换为求dp[n][0]，也可以拆分出许多子问题
转移上是

先考虑选择跑步的状态

$dp(i,j)=dp(i-1,j-1)+d[i] (第i分钟选择走，疲劳值+1)$

再考虑选择休息的状态，考虑到如何把疲劳值降为0不如反过来，考虑dp(i,0)是怎样转移过来的，是从什么地方开始下降，导致了疲劳值为0？

$dp(i,0)=dp(i-1,0)(第i-1分钟疲劳值也是0，第i分钟依然休息)$
$dp(i,0)=dp(i-k,k)(i-k>0 且 k<=m )(从第i-k分钟开始休息，一直休息了k分钟)$

#include <iostream>  
#include <cstdio> 
#include <algorithm>
using namespace std;  
int n,dp[100010][510],m,d[100010];
long long ans;
int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin >> d[i];
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        dp[i][0] = dp[i-1][0];
        for(int j=1; j<=m && j<=i; j++) 
            dp[i][j] =  dp[i-1][j-1] + d[i];
        for(int k=1; k<=m&&i-k>0; k++) 
            dp[i][0] = max(dp[i][0],dp[i-k][k]);
    }
    cout << dp[n][0];
    return 0;
}