动态规划（四）最长公共序列

最新推荐文章于 2024-09-20 10:50:16 发布

原创最新推荐文章于 2024-09-20 10:50:16 发布 · 288 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#动态规划

本文深入探讨了最长公共子序列问题，通过动态规划解决两个字符串的最长公共子串问题，详细阐述了状态定义、子问题划分、边界条件及状态转移方程。

最长公共子序列是动态规划的另一个经典问题：在给定字符串S1和S2，求一个最长的公共子串（不连续）S3，S3同时为S1和S2的子串，且要求它的长度最长，并确定这个长度。

ex：S1为abcfbc S2为abfcab的最长公共子串S3为 abcb 长度为4

分析：

1、用字符数组S1[n + 1] 和 S2[m + 1] 分别存储长度为n的字符串S1 和长度为m的字符串S2（S1[0] 和 S2[0]不存储字符，为了方便后边化简子问题）

2、确定状态：（与之前的动态规划不同，状态数组是一个二维数组）dp[n + 1][m + 1]

3、化子问题：dp[i][j]表示以S1[i]结尾字符串和以S2[j]结尾的字符字符串的最长子序列长度（S1[0] S2[0]结尾表示空串）

ex：S1为abcfbc S2为 abfcab 则dp[2][3]表示字符串ab与字符串abf的最长子序列长度，dp[2][3] = 2

4、确定边界：dp[i][0] = 0（0 <= i <=n） dp[0][j] = 0（0 <=j <= m）,即两个字符串其中一个为空串则最长子序列长度为0

6、状态转移方程，该问题需要一个两层的循环遍历1 <= i <= n，1 <= j <= m

dp[i][j]取值有两种情况：

（1）S1[i] = S2[j]，即S1中的第i个字符和S2中的第j个字符相同时，此时比存在一个公共子串以S1[i] S2[j]结尾，其他部分等价S1中前i - 1个字符和S2中前j - 1个字符的最长公共子串，于是这个子串比dp[i - 1][j - 1]多1，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

（2）S1[i] != S2[j]，此时最长公共子串长度为S1中前i - 1个字符和S2中前j个字符的最长公共子串长度与S1中前i个字符和S2 中前j - 1个字符的最长公共子串长度的较大者，dp[i][j] = max{dp[i - 1][j]， dp[i][j - 1]}

综上状态转移方程为：

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 S1[i] == S2[j]

dp[i][j] = max{dp[i - 1][j]， dp[i][j - 1]} S1[i] != S2[j]

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstring>

using namespace std;

char S1[1000];
char S2[1000];
int dp[1000][1000] = {{0, 0}};   //全部初始化为（0， 0），包含临界也初始化完毕

int main(){
    //注意此处，为了方便舍弃字符串的0号位，从1号位开始输入
    while(scanf("%s%s", S1 + 1, S2 + 1) != EOF){
        //注意求字符串长度时也要从1号位开始
        int len1 = strlen(S1 + 1);
        int len2 = strlen(S2 + 1);
        for(int i = 1; i <= len1; i ++){
            for(int j = 1; j <= len2; j ++){
                //两个转换方程
                if(S1[i] == S2[j]){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }else{
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        cout << dp[len1][len2] << endl;
    }
    return 0;
}