hdu6128 Inverse of sum

链接

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6128

题解

首先，我肯定要去掉原序列的所有$0$
化简后，得到原条件的等价条件$a_i^2+a_j^2+a_i{a}_j=0$

然后我就卡住了，半天想不到直接去搜题解

有一个初中生都知道的公式$a^3-b^3=(a-b)(a^2+b^2+ab)$
我给我我化简出的式子两边乘以$(a_i-a_j)$
便得到$a_i^3-a_j^3=(a_i-a_j)(a_i^2+a_j^2+a_i{a}_j)$
先统计有多少$a_i^3=a_j^3$的$(i,j)$
$a_i^3-a_j^3=0$是原命题成立的必要不充分条件
因此要研究多算了哪些，最后减去这个数目
注意$(a_i-a_j)(a_i^2+a_j^2+a_i{a}_j)=0$
这个成立有三种可能：
$a_i-a_j=0$且$a_i^2+a_j^2+a_i{a}_j=0$
$a_i-a_j=0$且$a_i^2+a_j^2+a_i{a}_j≠0$
$a_i-a_j≠0$且$a_i^2+a_j^2+a_i{a}_j=0$
要减去的便是上述第二种情况
当$a_i-a_j=0$时，设$a_i=a_j=t$
则$a_i^2+a_j^2+a_i{a}_j=3t^2$
$3t^2$在模$p$意义下不等于$0$便意味着$3t^2$不是$p$的倍数
注意到$p$是素数而且$t<p$，因此$t^2$中不含有$p$的倍数
那么只有$p=3$的时候，才可能$3t^2=0$
当$p≠3$时，必有$a_i=a_j\Rightarrow a_i^2+a_j^2+a_i{a}_j$，要减去这些

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100010
using namespace std;
typedef long long ll;
struct EasyMath
{
    ll fastpow(ll a, ll b, ll c)
    {
        ll t(a%c), ans(1ll);
        for(;b;b>>=1,t=mult(t,t,c))if(b&1)ans=mult(ans,t,c);
        return ans;
    }
    ll mult(ll a, ll b, ll c)
    {
        ll t(a%c), ans(0ll);
        for(;b;b>>=1,(t+=t)%=c)if(b&1)(ans+=t)%=c;
        return ans;
    }
}math;
ll a[maxn];
map<ll,ll> tb1, tb3;
ll read(ll x=0)
{
    ll c, f(1);
    for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-0x30;
    return f*x;
}
int main()
{
    ll T(read()), n, p, i;
    while(T--)
    {
        n=read(), p=read();
        tb1.clear(), tb3.clear();
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            auto a=read();
            if(a==0)continue;
            tb1[a]++;
            tb3[math.mult(math.mult(a,a,p),a,p)]++;
        }
        ll ans(0);
        for(auto pr:tb3)ans+=pr.second*(pr.second-1)/2;
        if(p!=3)
        {
            for(auto pr:tb1)ans-=pr.second*(pr.second-1)/2;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}