uva10668 - Expanding Rods

原创于 2019-04-17 22:45:17 发布 · 189 阅读

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本文详细介绍了如何通过数学推导和二分法解决一个特定的几何问题，即确定圆心坐标使得给定条件下的方程成立。通过分析方程特性，利用二分法高效求解，适用于算法竞赛和数学建模。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1609

题解

经过各种推导以及瞎搞，也算是得到了一个AC
设圆心坐标为 $(- a, 0)$
可以列出方程 $\frac{L'}{2}=\sqrt {a^2+\frac{L^2}{4}} \times arctan( \frac{a}{2L} )$
令 $f(a)=\sqrt {a^2+\frac{L^2}{4}} \times arctan( \frac{a}{2L} )$
求导，并令 $f^{'} (a) = 0$ ，得到一个方程 $1=\frac{1}{a} arctan( \frac{L}{2a} )$ ，右边单调，所以这个方程要么只有一个解，要么没有解
求极限发现 $f'(0^+)=0$ ， $f(+\infty)=+\infty$ ，结合零点个数，得到导函数横不小于 $0$
那 $f (a)$ 就单调不减
所以我可以二分求解
注意当 $L^{'} = L$ 时，原方程只有当 $a\rightarrow +\infty$ 时才成立，解不出实数解，需要特判

代码

//数学推导、二分
#include <bits/stdc++.h>
#define eps 1e-8
using namespace std;
double L, n, C, L2;
int main()
{
    double l, r, a, ans;
    while(scanf("%lf%lf%lf",&L,&n,&C), L>-eps)
    {
        L2=(1+n*C)*L;
        if(fabs(n*C)<eps)
        {
            printf("0.000\n");
            continue;
        }
        l=0, r=1e10, a=(l+r)/2;
        for(int i=1;i<=100;i++)
        {
            if(sqrt(a*a+L*L/4)*atan(L/(2*a))<L2/2)r=a;
            else l=a;
            a=(l+r)/2;
        }
        ans=sqrt(a*a+L*L/4)-a;
        printf("%.3lf\n",fabs(ans)<0.0005?0.0:ans);
    }
    return 0;
}