UVA11401 Triangle Counting

链接

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2396

题解

诗曰：推式子一小时，写代码一分钟

三条边只要满足两条小边加起来大于大边，就能构成三角形
所以这题就是求：满足$a<b<c$，且$a+b>c$的$(a,b,c)$个数
我枚举$c$，现在要找$a+b>c$的数对个数，直接算的话，可能答案中还要包含$n$，干脆反过来算，求$a+b\leq n$的$(a,b)$个数
我枚举$a=[1,c-1]$，对应$b$的上界就是$[c-1,n]$，再减去$a=b$的情况，除以$2$，即得到$a<b$且$a+b\leq c$的数对$(a,b)$的数量
那么对于枚举的$c$，数对$(a,b)$的个数就是$(\sum_{a=1}^{c-1}c-a)-\lfloor\frac{c}{2}\rfloor=\frac{c(c-1)}{2}-\lfloor\frac{c}{2}\rfloor$
答案等于$C_{n}^3-(\sum_{c=3}^n\frac{c(c-1)}{2}-\lfloor\frac{c}{2}\rfloor)$
化简一下(也就一整张$A4$纸)，得到一个$O(1)$的式子(就是我程序里写的那一段)

代码

//容斥
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int main()
{
    ll N, ans;
    while(scanf("%lld",&N),N>=3)
    {
        if(N&1)ans=(N-1)*(N+1)/4;
        else ans=(N-2)*(N)/4+N/2;
        ans-=N*(N+1)*(N-1)/6;
        ans=N*(N-1)*(N-2)/6+ans/2;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}