bzoj2440: [中山市选2011]完全平方数

最新推荐文章于 2020-11-29 16:48:30 发布

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本文介绍了一种利用莫比乌斯函数解决特定数学问题的方法。通过二分查找结合容斥原理，计算出一定范围内非完全平方数倍数的数量。算法复杂度为O(TlogNN−−√)，适用于竞赛编程。

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链接

　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2440

题解

　　莫比乌斯函数的应用
　　首先二分答案转成判定性问题，判定一个[1,N]有多少数不是完全平方数的倍数。
　　一个数是完全平方数的充要条件是它包含了某个素数的平方。
　　那么应用容斥，符合条件的数的个数= $N-\frac{N}{4}-\frac{N}{9}-\frac{N}{25}+\frac{N}{36}...$ ，容易发现，如果一个数是某个素数的平方，那么它的系数一定是 $-1$ ；如果是两个素数平方的乘积，那一定是 $+1$ ，因为被减了两次所以要加回来；如果是三个素数的平方的乘积，那就是 $+1$ ，因为前面被减了3次又加了3次，所以应该再减一次；如果是四个素数的平方乘积，那么前面总共加了 $-C_4^1+C_4^2-C_4^3=-2$ ，我们希望它的结果是 $-1$ 是，所以要加上…以此类推
　　你会发现系数正好等于那个数的 $\mu()$ ，因为其分类方法和 $\mu()$ 的定义本来就是吻合的。
　　这样的话就可以直接做了。方法就是二分+容斥统计。质数只需要枚举到根号。
　　复杂度 $O(TlogN\sqrt N)$

代码

//莫比乌斯函数
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define maxn 5000000ll
using namespace std;
int prime[maxn+10], mark[maxn+10], mu[maxn+10];
ll con[maxn+10];
void init()
{
    int i, j;
    mu[1]=1;
    for(i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!mark[i])prime[++prime[0]]=i,mu[i]=-1;
        for(j=1;j<=prime[0] and i*prime[j]<=maxn;j++)
        {
            mark[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(i=1;i<=maxn;i++)con[i]=(ll)i*i*mu[i];
}
ll cnt(ll x)
{
    ll ans=0, i;
    for(i=1;i*i<=x;i++)if(con[i])ans+=x/con[i];
    return ans;
}
int main()
{
    ll l, r, mid, T, K;
    init();
    for(scanf("%lld",&T);T;T--)
    {
        scanf("%lld",&K);
        l=0, r=K<<1, mid=(l+r+1)>>1;
        while(l<r)
        {
            if(cnt(mid)<K)l=mid;
            else r=mid-1;
            mid=(l+r+1)>>1;
        }
        printf("%lld\n",l+1);
    }
    return 0;
}