cf1276 D. Tree Elimination

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这篇博客讨论了如何解决CF1276D问题，即树消除策略。首先，它从特殊情况开始，分析一条链上的问题，通过动态规划给出解决方案。接着，扩展到直线上的情况，引入多维DP来处理边的乱序。最后，将这种方法推广到树形结构，自下而上地进行DP，解释了如何根据边的时间戳对子树进行决策计数。博客还包含了代码实现。

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先考虑一条链上的特殊情形

如果是一条链，而且边的顺序是从后往前，那么我很容易写出 $d p$ ：

定义 $f_{i,0/1}$ 为前 $i$ 个位置已经决策完了，并且最后一个点有没有被选，的方案数。

转移就是：

$f_{i,0}=f_{i-1,0}+f_{i-1,1}$
$f_{i,1}=f_{i-1,0}$

再考虑一条直线上的一般情形

如果我给出边的顺序不是按照从前往后，而是乱序的，那么第 $i$ 条边所面临的决策也会受到后面的影响

看似有后效性，但其实会发现这个题目中决策只会影响到相邻的位置，因此有一个套路就是，多开一维记录后面对前面的影响

$f_{i,0/1,0/1}$ 表示决策第 $i$ 个位置前， $i$ 线段的右端点是 $0 / 1$ ，第 $i$ 个位置决策后， $i$ 线段的右端点是 $0 / 1$ ，的方案数。

由于 $i, 1, 0$ 这个状态无效因此我把它丢掉

$f_{i,0},f_{i,1},f_{i,2}$ 依次表示 $\rightarrow 0),(0 \rightarrow 1),(1 \rightarrow 1)$ 的方案数

假设第 $i$ 条边的时间戳是 $t_i$

那么：
$t_i>t_{i+1}$ 时，
$f_{i,0} = f_{i+1,0} + f_{i+1,1}$
$f_{i,1} = f_{i+1,0}$
$f_{i,2} = f_{i+1,0}$

$t_i<t_{i+1}$ 时，
$f_{i,0} = f_{i+1,2}$
$f_{i,1} = f_{i+1,0} + f_{i+1,1}$
$f_{i,2} = f_{i+1,0} + f_{i+1,1}$

最后推广到树上

推广到树上之后，就变成自下而上的 $d p$ ，叶子节点的初始状态直接就是 $(1, 1, 1)$ ，而 $dp_{i,0/1/2}$ 的含义也变成了“子树中边的决策的方案数”

做法也有一点变化，就是把与 $u$ 直接相连的边按照时间戳排个序，转移的时候基本思想还是不变，请读者自行瞎搞搞应该就能出来了

代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#define iinf 0x3f3f3f3f
#define linf (1ll<<60)
#define eps 1e-8
#define maxn 200010
#define maxe 400010
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define rep(_,__) for(_=1;_<=(__);_++)
#define em(x) emplace(x)
#define emb(x) emplace_back(x)
#define emf(x) emplace_front(x)
#define fi first
#define se second
#define mod 998244353ll
#define de(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
ll read(ll x=0)
{
    ll c, f(1);
    for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-0x30;
    return f*x;
}
vector<ll> to[maxn];
ll n, dp[maxn][3], p0[maxn], p1[maxn], p2[maxn];
void dfs(ll fa, ll u)
{
    ll i, j, sz=to[u].size()-1, cnt;

    if(sz==0)
    {
        dp[u][0]=dp[u][1]=dp[u][2]=1;
        return;
    }

    for(auto v:to[u])if(v!=fa)dfs(u,v);

    p0[0]=1;
    j=0;
    for(auto v:to[u])if(v!=fa)
    {
        p0[j+1]=p0[j]*dp[v][0]%mod;
        p1[j+1]=dp[v][1];
        j++;
    }

    p2[sz+1]=1;
    j=sz;
    for(auto it=to[u].rbegin();it!=to[u].rend();it++)
    {
        auto v=*it;
        if(v!=fa)
        {
            p2[j]=p2[j+1]*dp[v][2]%mod;
            j--;
        }
    }

    cnt=0;
    for(auto v:to[u])if(v!=fa)cnt++;else break;

    rep(i,cnt)
        (dp[u][0]+=p0[i-1]*p1[i]%mod*p2[i+1])%=mod;
    (dp[u][0]+=p0[cnt]*p2[cnt+1])%=mod;
    
    for(i=cnt+1;i<=sz;i++)
        (dp[u][1]+=p0[i-1]*p1[i]%mod*p2[i+1])%=mod;
    (dp[u][1]+=p0[sz])%=mod;

    rep(i,sz)
        (dp[u][2]+=p0[i-1]*p1[i]%mod*p2[i+1])%=mod;
    (dp[u][2]+=p0[sz])%=mod;
}
int main()
{
    ll i;
    n=read();
    to[1].emb(n+1);
    to[n+1].emb(1);
    rep(i,n-1)
    {
        auto u=read(), v=read();
        to[u].emb(v);
        to[v].emb(u);
    }
    dfs(n+1,1);
    printf("%lld",dp[1][2]);
    return 0;
}