计算机中的数据表示

数据的世界

在我们的日常生活中，我们通常使用十进制来表示数据，例如今天你在网上买了价值139元的鼠标。但在计算机中，数据以二进制形式存在，电脑本身也只能识别 0 和 1。下面我们就进入二进制的世界来一起学习。

二进制转化

1、二进制与十进制的相互转化

若需将二进制数转化为十进制数，只需按权相加

例如：

(111)₂ = 2²* 2¹* 2⁰ = (7)₁₀

如需将十进制数转化为二进制数，只需使用除基取余法，即对于十进制数进行除2操作，并记录余数，反复操作，直到除2为0为止，然后将所记录的所有余数逆向排列即得到二进制数

(9)₁₀ = (1001)₂

机器数

原码、反码、补码、移码

机器数由两部分组成：符号位和数值位

符号位：负数的符号位为0，正数的符号位为1

原码：负数的原码为符号位（0）+二进制数，正数的原码为符号位（1）+二进制数。

反码：负数的反码为原码按位求反，正数的反码为原码

补码：负数的补码为反码+1，正数的补码为原码（补码模的概念：符号位进位后所在的权值）

移码：数值位与补码数值位相同，符号位求反

浮点数

浮点数：一种小数点位置不固定，可随需要浮动的数

表示为：N = R^E *M (其中M是浮点阶码的底（隐含，与尾数的基数相同，通常取2），E称为阶码，M称为尾数)

浮点数代码由阶码和尾数两部分构成。阶码包括阶符和阶码数值部分，尾数包括数符和尾数数值部分。

阶码：常用补码或移码表示的定点整数。阶码的符号位为正，则表示尾数表示的定点小数的算数左移N位（小数点向右移N位）；阶码的符号位为负，则表示尾数表示的定点小数的算数右移N位（小数点向左移动N位）。

尾数：常用原码或补码表示的定点小数。

阶码反映浮点数的表示范围和小数点的实际位置，尾数的位数反映浮点数的精度。

规格化

为了提高运算精度，充分利用尾数的有效位数，且确保任意一个数用浮点数形式表示时其尾数的代码具有唯一性，需要采用浮点数规格化形式。

浮点数规格化即规定尾数的最高数位必须时一个有效值。

规格化的浮点数的尾数的绝对值满足条件： 1/2 <= |M| <= 1

(1)原码规格化：

正数为：0.1……的形式，最大值表示为0.1……1,最小值表示为0.10……0

负数为：1.1……的形式，最大值表示为1.10……0，最小值表示为1.111……1

当浮点数运算结果为非规格化需进行规格化处理：将尾数算数左移一位（小数点右一位），阶码减一

当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）：将尾数算数右移一位（小数点左移一位），阶码加一

IEEE754标准

IEEF754标准规定常用的浮点数格式有：短浮点数、长浮点数、临时浮点数

IEEF754标准的浮点数（短浮点数和长浮点数）的尾数用采取隐藏位的策略的原码表示，阶码用移码表示

对于32位短浮点数，最高位是数符位，后八位为阶码，阶码用移码表示，实际偏移量为2^8-1 = 127。其余23位是原码表示的尾数数值位。其中，尾数的最高位总是‘1’，为了更高使尾数多表示一位有效值，将1隐含，所以实际上尾数有24位，隐藏的1是整数，23位尾数是纯小数。

例题：将十进制数20.59375转化成IEEE754标准的32位短浮点数

(20.59375)10 = (10100.10011)2

(10100.10011)2 = 1.010010011* 2^4

S0 = 0(正数) 阶码 = 4 + 127 - 131 = 10000011 尾数M = 01001001100……（隐含1，原码表示）

所以F = 0 10000011 01001001100……

校验码

1、奇偶校验码

奇校验码：通过在编码中增加一位校验码来使编码中1的个数为奇数

偶校验码：通过在编码中增加一位校验码来使编码中1的个数为偶数

奇偶校验码只能检测出奇数个错误（出现奇数个错误，编码中1的个数的奇偶性便会发生改变）

2、海明码

汉明码默认一串数据只错一位

海明码由校验位和数据位构成，在数据位之间的特定位置上插入k个校验位，通过扩大码距来实现检错和纠错。

设数据位为n位，校验位为k位，则n和k必须满足以下关系：2^k - 1 >= n+k。Di表示数据位数据、Pi表示校验位数据

校验位在海明码位的第2^(i-1)位置上

假设数据为：D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0 = 01101001

海明码算法：

（1）根据公式：2^k - 1 >= n+k来判断校验位的个数（例子中的数据位为8位，所以校验位的个数应该为4位）

（2）确定数据位和校验位在海明码中的位置：

H12	H11	H10	H9	H8	H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
D7	D6	D5	D4	P4	D3	D2	D1	P3	D0	P2	P1

（3）分组：将海明码位置的序列转换成二进制：如H1的序列为1，转化为二进制为0001。

​ 按照以二进制是否满足：* * * 1、 * * 1 * 、* 1 * *、 1 * * *的关系来分组。

​ 所以有{P1, D0 , D1, D3, D4, D6} {P2, D0, D2, D3, D5, D6} {P3, D1, D2, D3, D7} {P4, D4, D5, D6, D7}

校验码的值则根据1的数量的奇偶判断。当为偶校验码时，P1 = 1, P2 = 0, P3 = 1, P4 = 0.

检错：

先分组：P1、P2、P3、P4 。再分别对每个组校验，没有错的给它0，有错的给1. 按分组序号从大到小排列，若不全为0时说明发生了错误。错误的位置即为以P4P3P2P1对应的十进制数为序列的数据位位置上的数，将其取反纠错即可。如0101对应十进制数5，则D5（H10）发生了错误。

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下面使用logisim模拟海明码形成与检错电路

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3、循环冗余码

CRC码是利用生成多项式为k个数据为产生r个校验位来进行编码，长度为k+r

CRC码由数据位和校验位组成，数据位占k位，校验位占n-k位，求CRC编码时采用模2运算。

例如将四位有效信息1100编成循环校验码，选择生成多项式1011

1、确定M(x) = x^3 + x^2 即1100

2、将M(x)左移r位（为了空出r位，拼接r位余数），r位表示M(x)的最高次，即r=3 M(x)*(x^r) = x^6 + x^5 = 1100000

3、多项式G(x) = x^3 + x^1 + 1 即1011

4、求余数：M(x)*x^r/G(x) = 1100000/1011 = 1110 + 010/1011(其中,010是余数)

5、循环冗余码：110000010