动态规划DP_多重背包

多重背包简介

在之前的完全背包的条件下，此时物品的个数已经不是无限个，而是有限个s[i]

朴素想法思想和完全背包差不太多

集合的划分
	和完全背包的集合划分差不多，唯一不同的是，多了个限制条件，拿的物品的个数 <= s[i]

题目

朴素代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N], s[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
            for (int k = 0; k <= s[i]; k ++)
            {  
                if (j >= k * v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        cout << f[n][m] << endl;
        system("pause");
    return  0;
}

代码优化

二进制优化的方式

把 s 分为从2的0次幂开始一直到2的k次幂 且它们相加的和X小于s
此时再添加一个常数c = s - X && c <= 2的k+1次幂

之后把从2的0次幂开始一直到2的k次幂和c，每一个都看成一组，之后用01背包的想法，就可解决该问题

优化代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 25000, M = 2010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    int cnt = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {

        int a, b, s; // v, w , s
        cin >> a >> b >> s;
        int k = 1;

        while (k <= s)
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = a * k;
            w[cnt] = b * k;
            s -= k;
            k *= 2;
        }
        if (s > 0)
        {
            cnt ++;
            v[cnt] = a * s;
            w[cnt] = b * s;
        }
        
    }

    n = cnt;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j  = m; j >= v[i]; j --)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;
    system ("pause");
}

代码分析

优化前的代码复杂度为 NVS
优化后的代码复杂度为NV(logS)