【基本算法】拆分为连续正整数之和

整数拆分：即把一个给定的正整数拆分为若干个连续正整数之和

例如: 将输入一个整数15，可以拆分为:

15 = 1+2+3+4+5

15 = 4+5+6

15=7+8

分析:

由题可知，拆分的起始项i不会超过该数n的一半减一(1~(n-1)/2)，累加项不会超过该数的一半加一(i~(n+1)/2)

这里可以作为循环的条件，在j循环中若s(总和) >= n(原整数),则退出，否则继续求和。

代码实现:

/**
 * 拆分连续正整数之和
 * @author evan_qb
 *
 */
public class Demo2 {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner input = new Scanner(System.in);
		System.out.println("请输入拆分数n:");
		int n = input.nextInt();
		//统计个数
		int count = 0;
		//起始项范围:1 ~ (n-1)/2
		for (int i = 1; i <= (n-1)/2; i++) {
			//定义求和的结果
			int sum = 0;
			//累加项范围:i ~ (n+1)/2 
			for (int j = i; j <= (n+1)/2; j++) {
				sum += j;
				if (sum >= n) {
					if (sum == n) {
						//个数加一
						count++;
						if (j - i == 1) {
							System.out.println(count + ":" + i + "+" + j);
						}else{
							System.out.println(count + ":" + i + "+ ... +" + j);
						}
						break;
					}
				}
			}
		}
		System.out.println("共有" + count + "个解!!!");
		input.close();
	}
}

运行结果如下:

算法优化:

优化要点:

累加项个数优化:

设正整数的个数为k,k的最大值为t

1+2+...+ t = t*(t+1)/2 = n,即t < sqrt(2t)

设起始值m的连续k项(2<= k < t)之和为n

m + (m+1) + ... + (m+k-1) = k*(2*m + k -1)/2 = n

推出:

m = (2*n/k-k+1)/2

在循环中:

正整数的个数k的范围为:  2 ~ t，如果2*n不能被k整除，或(2*n/k-k+1)不能被2整除，说明此时m不是整数,则返回。

否则为正整数 m = (2*n/k-k+1)/2,即为解

代码实现:

/**
 * 拆分数优化版
 */
public void test1(){
	Scanner input = new Scanner(System.in);
	System.out.println("请输入拆分数n:");
	long n = input.nextLong();
	//统计个数
	int count = 0;
	//t为拆分项的最大个数
	long t = (long) Math.sqrt(2*n);
	//k为拆分项的个数
	for (long k = 2; k <= t; k++) {
		//判断是否存在这个整数使得m + (m+1) + ... + (m+k-1) = k*(2*m + k -1)/2(各个项之和) = n(拆分数)
		if ((2*n) % k != 0 || (2*n/k - k + 1) % 2 > 0) {
			continue;
		}
		//设置起始项为start
		long start = (2*n/k - k + 1)/2;
		//满足的条件的个数
		count++;
		//打印出来
		if (k == 2) {
			System.out.println(count + ":" + start + "+" + (start + k -1));
		}else{
			System.out.println(count + ":" + start + "+ ... +" + (start + k -1));
		}
		
	}
	System.out.println("一共有" + count + "个解");
	input.close();
}

运行结果: