[HDU3401] [HDUMonthly1005] Trade [单调队列][dp]

[$\mathfrak{L}\mathfrak{i}\mathfrak{n}\mathfrak{k}$]

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从初始状态经过买入卖出操作达到末状态，要使末状态值最大。
很明显满足无后效性和最优子结构。考虑用动态规划来解决这个问题。

-首先思考状态。
　很明显是$\Theta ({\mathfrak{n}}^2)$。
　　考虑第一维，稍有常识的人直觉来说是枚举天数
　　第二维不会是钱数，那应该和“股票的数量”有关——
　　股票只有这一种，直接记录当前持有多少支该股。
状态：$\mathfrak{f}[\mathfrak{i}][\mathfrak{j}]$表示第$\mathfrak{i}$天手里有$\mathfrak{j}$支股票的最大收益

-然后思考转移。
　当然，$\mathfrak{f}[\mathfrak{i}][\mathfrak{j}]$的转移只需要考虑$\mathfrak{f}[1\sim (\mathfrak{i}-\mathcal{W})][1\sim \mathcal{M}ax\mathcal{P}]$
　一开始一定要先买入，这是初状态，直接赋值。转移分三种：
　不买入&不卖出的情况： f [ i ] [ j ] = m a x { f [ i ] [ j ] , f [ i − 1 ] [ j ] } \frak{f[i][j]=max\{f[i][j],f[i-1][j]\}} f[i][j]=max{f[i][j],f[i−1][j]}
　买入： f [ i ] [ j ] = m a x { f [ 1 ∼ ( i − W − 1 ) ] [ k ] − ( j − k ) × A P i } \frak{f[i][j]=max\{f[1\thicksim(i-\mathcal{W}-1)][\mathcal{k}]-(j-\mathcal{k})×\mathcal{AP_\frak{i}}\}} f[i][j]=max{f[1∼(i−W−1)][k]−(j−k)×APi​}
　卖出： f [ i ] [ j ] = m a x { f [ 1 ∼ ( i − W − 1 ) ] [ k ] + ( k − j ) × B P i } \frak{f[i][j]=max\{f[1\thicksim(i-\mathcal{W}-1)][\mathcal{k}]+(\mathcal{k}-j)×\mathcal{BP_\frak{i}}\}} f[i][j]=max{f[1∼(i−W−1)][k]+(k−j)×BPi​}
　并且由于有了不买入&不卖出的转移，有：
转移方程：
　初状态（第一次买入）：$\mathfrak{f}[\mathfrak{i}][\mathfrak{j}]=-\mathfrak{j}\mathcal{A}{\mathcal{P}}_{\mathfrak{i}}$
　不买入/卖出： f [ i ] [ j ] = m a x { f [ i ] [ j ] , f [ i − 1 ] [ j ] } \frak{f[i][j]=max\{f[i][j],f[i-1][j]\}} f[i][j]=max{f[i][j],f[i−1][j]}
　买入： f [ i ] [ j ] = m a x { f [ i − W − 1 ] [ k ] − ( j − k ) × A P i } \frak{f[i][j]=max\{f[i-\mathcal{W}-1][\mathcal{k}]-(j-\mathcal{k})×\mathcal{AP_\frak{i}}\}} f[i][j]=max{f[i−W−1][k]−(j−k)×APi​}
　卖出： f [ i ] [ j ] = m a x { f [ i − W − 1 ] [ k ] − ( j − k ) × B P i } \frak{f[i][j]=max\{f[i-\mathcal{W}-1][\mathcal{k}]-(j-\mathcal{k})×\mathcal{BP_\frak{i}}\}} f[i][j]=max{f[i−W−1][k]−(j−k)×BPi​}

当然这不能作为最终的式子：因为这个式子里面引入了$\mathfrak{k}$，时间上增加了枚举$\delta$的一维。
这样的话复杂度是$\Theta ({\mathfrak{n}}^3)$的，当然不行。

-如何优化？
　两个转移方程形如： f ( i , j ) = o p t { f ( i , k ) + a ( j , k ) } \frak{f(i,j)=opt\{f(i,\mathcal{k})+a(j,\mathcal{k})\}} f(i,j)=opt{f(i,k)+a(j,k)}
　这不好优化。但是$\mathfrak{a}(\mathfrak{j},k)$可以拆成两部分，一部分只与$(\mathfrak{i},\mathfrak{j})$有关,一部分只与$\mathfrak{i},k$有关。
　这样式子就变成了 f ( i , j ) = o p t { f ( i , k ) + a ( i , j ) } \frak{f(i,j)=opt\{f(i,\mathcal{k})+a(i,j)\}} f(i,j)=opt{f(i,k)+a(i,j)}。
　注意到单调队列的基本形式是 f ′ ( i ′ ) = o p t { f ′ ( j ′ ) + a ′ ( i ′ ) } \frak{f'(i')=opt\{f'(j')+a'(i')\}} f′(i′)=opt{f′(j′)+a′(i′)}
　现在推广到二维，可以把$(\mathfrak{i},\mathfrak{j})$看作${\mathfrak{i}}^{\prime }$，把$(\mathfrak{i},k)$看作${\mathfrak{j}}^{\prime }$。方程符合单调队列形式，可以优化。
　最终复杂度$\Theta ({\mathfrak{n}}^2)$。

-构造代码
　·读入
　·循环枚举天数$\mathfrak{i}$
　　·清空单调队列
　　·循环枚举股票数$\mathfrak{j}$
　　　·初状态（第一次买入）
　　　·不买入也不卖出
　　　·买入
　　　　·更新$\mathfrak{f}[\mathfrak{i}][\mathfrak{j}]$
　　　　·更新单调队列
　　　　　·删除单调队列中过期部分（$\mathfrak{j}-\mathcal{A}{\mathcal{S}}_{\mathfrak{i}}>k$）
　　　　　·在单调队列中加入$\mathfrak{f}[\mathfrak{i}-\mathfrak{w}-1][\mathfrak{j}]+\mathfrak{j}\mathcal{A}{\mathcal{P}}_i$
　　　·卖出
　　　　·更新$\mathfrak{f}[\mathfrak{i}][\mathfrak{j}]$
　　　　·更新单调队列
　　　　 　·删除单调队列中过期部分（$\mathfrak{j}+\mathcal{B}{\mathcal{S}}_{\mathfrak{i}}<k$）
　　　　 　·在单调队列中加入$\frak{f[i-w-1][j]+j\mathcal{BP_i}}
　　　　 　
步骤省略对多组数据的处理

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#Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<cctype>
using namespace std;
int T,N,P,W,AP,BP,AS,BS;
int F[2005][2005]={},q[2005]={},ql=1,qr=0,Ans=0;
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--) 
	{
		memset(F,0xcf,sizeof(F));
		Ans=0;
		scanf("%d%d%d",&N,&P,&W);
		for(int i=1;i<=N;++i) 
		{
			scanf("%d%d%d%d",&AP,&BP,&AS,&BS);
			for(int j=0;j<=AS;++j)F[i][j]=-j*AP;
			for(int j=0;j<=P;++j)F[i][j]=max(F[i][j],F[i-1][j]);
			if(i<=W)continue;
			
			ql=1, qr=0;
			for(int j=0;j<=P;++j) 
			{
				while(ql<=qr&&j-AS>q[ql])++ql;
				while(ql<=qr&&F[i-W-1][q[qr]]+q[qr]*AP<=F[i-W-1][j]+j*AP)--qr;
				q[++qr]=j;
				if(ql<=qr)F[i][j]=max(F[i][j],F[i-W-1][q[ql]]+(q[ql]-j)*AP);
			}
			
			ql=1, qr=0;
			for(int j=P;j>=0;--j) 
			{
				while(ql<=qr&&j+BS<q[ql])++ql;
				while(ql<=qr&&F[i-W-1][q[qr]]+q[qr]*BP<=F[i-W-1][j]+j*BP)--qr;
				q[++qr]=j;
				if(ql<=qr)F[i][j]=max(F[i][j],F[i-W-1][q[ql]]+(q[ql]-j)*BP);
			}
		}
		for(int i=0;i<=P;++i)Ans=max(Ans,F[N][i]);
		printf("%d\n",Ans);
	}
	return 0;
}