图论11 连通性和tarjan算法

在今天的课开始之前先道个歉……这几天我有事，所以三周没更贴，今天一起更（稿我都写好啦）

今天的主要知识点是图的连通性。先来一些干货，没有这个就没有tarjan算法的那种：

1.连通分量&强连通分量：一个有向图或无向图的最大连通子图，一个连通图的连通分量就是他本身。如果这个图不联通，每一个联通部分是一个连通分量。

2.强连通有向图：一般叫强连通图，意思是一个有向图的所有点都相连，可以理解为从任意一个点都能走到一个指定的位置。

我们这是又要接触一个东西了，他叫搜索树，就是一个保存搜索顺序的树。

跟搜索树相关的干货：

1，树枝边：一棵树里所有的边都是树枝边。

2，前向边：两个点与树上的顺序一致，而且图中有这个边，注意前向边是从父节点指向子节点的。

3，后向边：跟前向边反着来，从子节点接到父节点。

4，横叉边：搜索树的两个子树之间的边，注意横叉边一定是从右往左连得。

知道了这些东西，就能学习tarjan算法了。

首先要在知道两个干货：时间戳&最小时间戳。

时间戳可以理解为是搜索的顺序标签，最小时间戳就是从一个点走到当前点，那个点的时间戳比当前点要小，当前点的最小时间戳就是那个点的时间戳。

我们在搜图的时候不可能不会遇到环。一般的搜图算法基本上都是不过环的，有的算法一有环就不能用了，搜索时遇见环则会死循环。

但是tarjan算法允许有环，因为它采用了缩点技术。缩点就是把一个环给看成点，这样算法就都能用了。接下来实操一个题：

强连通分量

时间限制：1秒        内存限制：128M

题目描述

有一个 n 个点，m 条边的有向图，请求出这个图点数大于 1 的强联通分量个数。

输入描述

第一行为两个整数 n 和 m。

第二行至 m+1 行，每一行有两个整数 a 和 b，表示有一条从 a 到 b 的有向边。

输出描述

仅一行，表示点数大于 1 的强联通分量个数。

样例

输入

5 4
2 4
3 5
1 2
4 1

输出

1

提示

对于全部的测试点，保证 2≤n≤10^4，2≤m≤5×10^4，1≤a,b≤n。

解析：

这个就是很模板的tarjan算法，这个算法就是用来算连通分量的。

话不多说，上核心代码：

void tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++t;
    s[++top]=u;
    vis[u]=true;
    for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
    {
        int j=e[i];
        if(!dfn[j])
        {
            tarjan(j);
            low[u]=min(low[u],low[j]);
        }
        else if(vis[j]) low[u]=min(low[u],dfn[j]);
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        int y;
        sc++;
        do{
            y=s[top--];
            vis[y]=false;
            id[y]=sc;
            sz[sc]++;
        }while(y!=u);
    }
}
int main()
{
    //初始化
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    }
    //输出
}

注意这个算法也是要用链式前向星的。以后我会专门抽出来一讲来说链式前向星。

再来一个比较灵活的提：

受欢迎的牛

时间限制：1秒        内存限制：512M

题目描述

每一头牛的愿望就是变成一头最受欢迎的牛。现在有 N 头牛，给你 M 对整数(A,B)，表示牛 A 认为牛 B 受欢迎。这种关系是具有传递性的，如果 A 认为 B 受欢迎，B 认为 C 受欢迎，那么牛 A 也认为牛 C 受欢迎。你的任务是求出有多少头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。

输入描述

第一行两个数 N,M；
接下来 M 行，每行两个数 A,B，意思是 A 认为 B 是受欢迎的（给出的信息有可能重复，即有可能出现多个 A,B）。

输出描述

输出被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的牛的数量。

样例

输入

3 3
1 2
2 1
2 3

输出

1

提示

样例说明
只有第三头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。

对于全部数据，1≤N≤10^4,1≤M≤5×10^4。

解析：

不太明显的tarjan。这个题要算谁是最受欢迎的牛，实际就是谁的入度最大。

int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b);
    }   
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    }   
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=h[i];~j;j=ne[j])
        {
            int k=e[j],a=id[i],b=id[k];
            if(a!=b) du[a]++;
        }
    }
    int zero=0,ans=0;
    for(int i=1;i<=sc;i++)
    {
        if(!du[i])
        {
            zero++;
            ans+=sz[i];
            if(zero>1)
            {
                ans=0;
                break;
            }
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

只给主函数处理部分，tarjan函数跟上一个一模一样。

今天有点少，多数是干货。

作业题：

校园网

时间限制：1秒        内存限制：128M

题目描述

一些学校连入一个电脑网络。那些学校已订立了协议：每个学校都会给其它的一些学校分发软件（称作“接受学校”）。注意即使 B 在 A 学校的分发列表中， A 也不一定在 B 学校的列表中。

你要写一个程序计算，根据协议，为了让网络中所有的学校都用上新软件，必须接受新软件副本的最少学校数目（子任务 A）。更进一步，我们想要确定通过给任意一个学校发送新软件，这个软件就会分发到网络中的所有学校。为了完成这个任务，我们可能必须扩展接收学校列表，使其加入新成员。计算最少需要增加几个扩展，使得不论我们给哪个学校发送新软件，它都会到达其余所有的学校（子任务 B）。一个扩展就是在一个学校的接收学校列表中引入一个新成员。

输入描述

输入文件的第一行包括一个整数 N：网络中的学校数目（2 <= N <= 100）。学校用前 N 个正整数标识。

接下来 N 行中每行都表示一个接收学校列表（分发列表）。第 i+1 行包括学校 i 的接收学校的标识符。每个列表用 0 结束。空列表只用一个 0 表示。

输出描述

你的程序应该在输出文件中输出两行。

第一行应该包括一个正整数，表示子任务 A 的解。

第二行应该包括一个非负整数，表示子任务 B 的解。

样例

输入

5
2 4 3 0
4 5 0
0
0
1 0

输出

1
2

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