【题解】【CCF】202109-4 收集卡牌

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题目描述

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小林在玩一个抽卡游戏，其中有 n 种不同的卡牌，编号为 1 到 n。每一次抽卡，她获得第 i 种卡牌的概率为 pi。如果这张卡牌之前已经获得过了，就会转化为一枚硬币。可以用 k 枚硬币交换一张没有获得过的卡。

小林会一直抽卡，直至集齐了所有种类的卡牌为止，求她的期望抽卡次数。如果你给出的答案与标准答案的绝对误差不超过 10−4，则视为正确。

提示：聪明的小林会把硬币攒在手里，等到通过兑换就可以获得剩余所有卡牌时，一次性兑换并停止抽卡。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入共两行。第一行包含两个用空格分隔的正整数 n,k，第二行给出 p1,p2,…,pn，用空格分隔。

输出格式

输出到标准输出。

输出共一行，一个实数，即期望抽卡次数。

样例1输入

2 2
0.4 0.6

Data

样例1输出

2.52

Data

样例1解释

共有 2 种卡牌，不妨记为 A 和 B，获得概率分别为 0.4 和 0.6，2 枚硬币可以换一张卡牌。下面给出各种可能出现的情况：

• 第一次抽卡获得 A，第二次抽卡获得 B，抽卡结束，概率为 0.4×0.6=0.24，抽卡次数为 2。
• 第一次抽卡获得 A，第二次抽卡获得 A，第三次抽卡获得 B，抽卡结束，概率为 0.4×0.4×0.6=0.096，抽卡次数为 3。
• 第一次抽卡获得 A，第二次抽卡获得 A，第三次抽卡获得 A，用硬币兑换 B，抽卡结束，概率为 0.4×0.4×0.4=0.064，抽卡次数为 3。
• 第一次抽卡获得 B，第二次抽卡获得 A，抽卡结束，概率为 0.6×0.4=0.24，抽卡次数为 2。
• 第一次抽卡获得 B，第二次抽卡获得 B，第三次抽卡获得 A，抽卡结束，概率为 0.6×0.6×0.4=0.144，抽卡次数为 3。
• 第一次抽卡获得 B，第二次抽卡获得 B，第三次抽卡获得 B，用硬币兑换 A，抽卡结束，概率为 0.6×0.6×0.6=0.216，抽卡次数为 3。

因此答案是 0.24×2+0.096×3+0.064×3+0.24×2+0.144×3+0.216×3=2.52。

样例2输入

4 3
0.006 0.1 0.2 0.694

Data

样例2输出

7.3229920752

Data

子任务

对于 20% 的数据，保证 1≤n,k≤5。

对于另外 20% 的数据，保证所有 pi 是相等的。

对于 100% 的数据，保证 1≤n≤16,1≤k≤5，所有的 pi 满足 pi≥110000，且 ∑i=1npi=1。

解题思路

看看数据范围，可以用状压dp，用0和1代表选不选

注意保留10位小数，是样例里给出的最长的，保留其他位都是零分，emm，也没给范围，挺怪的

double保留到小数点后15位以后就不准了 

题解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double dp[(1<<17)+17][100];
int cnt[(1<<17)+17];		//判断第i位转化为2进制有几个1 
int main(){
	int n,l;
	cin>>n>>l;
	vector<double> v(n);
	for(int i=0;i<n;i++)	cin>>v[i];
	for(int i=0;i<=(1<<n);i++){
		int x=i;
		while(x>0){
			if(x%2)	cnt[i]++;
			x/=2;
		}
	}
	double ans=0.0;
	dp[0][0]=1;
	for(int i=0;i<(1<<n);i++){
		for(int j=0;j<=100;j++){
			if(cnt[i]+(j-cnt[i])/l==n){		//满足条件 
				ans+=j*dp[i][j];
				continue;
			}
			for(int k=0;k<n;k++){	//不满足条件，遍历插入 
				if(i&(1<<k)){	//已经存在 
					dp[i][j+1]+=dp[i][j]*v[k];
					//cout<<"i: "<<i<<"j: "<<j<<"\n";
				} else{
					dp[i+(1<<k)][j+1]+=dp[i][j]*v[k];
					//cout<<"i+(1<<k): "<<i+(1<<k)<<"i: "<<i<<"j: "<<j<<"\n";
				}
			}
		}
	} 
	printf("%.10f",ans);
}