牛客网暑期ACM多校训练营（第五场）B. div(技巧+OEIS or Pell方程)

题意

  一个数被称为好的，当且仅当存在一个$x\in[n^2+1,n^2+2*n]$使得$x|n^4$，给定一个$m(1\leq m\leq 10^{1000})$，找到一个大于等于$m$的最小的好的$n$。

分析(1)

  (P.S. 这一部分为正解，大致思路即敦老师的pdf题解[其实就是抄了一遍…加深一下对Pell方程印象])
  设$n^2+a|n^4$，则$n^2+a|n^4-(n^2-a)(n^2+a)=a^2$，又$a^2\leq 4n^2<4(n^2+a)$，所以$a^2=t(n^2+a)$，$t=1,2,3$，接下来就对$t$进行分类讨论。
  (1)当$t=1$时，$a^2=n^2+a$，$a(a-1)=n^2$无解。
  (2)当$t=2$时，$(a-1)^2=2n^2+1$，方程$x^2-2y^2=1$的初始解$(x,y)=(3,2)$，于是通过Pell方程推出通解是$n_0=0,n_1=2,n_{k+2}=6n_{k+1}-n_k$
  (3)当$t=3$时，$a^2=3n^2+3a$，设$a=3b$，则$3b^2=n^2+3b$，设$n=3m$，则$b^2=3m^2+3b$，$(2b-1)^2=12m^2+1$，得$x^2-12y^2=1$，初始解为$(x,y)=(7,2)$，于是原方程初始解为$n_0=0,n_1=2,n_{k+2}=14n_{k+1}-n_k$
  因为只有这几种情况，而且$t=1$是无解的，所以只存在两个递推式，由于这两个递推式的增长速度很快，所以只要对两个递推式分别暴力枚举到第一个大于等于$m$的数字，取$min$就行了。

Code

# 偷懒用python[雾]
n, a, b, c, d = int(input()), 0, 2, 0, 6
while b < n:
    b, a = b * 6 - a, b
while d < n:
    d, c = d * 14 - c, d
print(min(b, d))

Pell方程

定义

  对于形如$x^2-Dy^2=1$(D是一个固定正整数但不是完全平方数)的方程，我们将它称作Pell方程。

定理

  Pell方程总有正整数解，若$(x_1,y_1)$是使$x_1$最小的解，则每个解都可以通过取幂得到：
  $x_k+y_k*\sqrt D=(x_1+y_1*\sqrt D)^k$
  $x_{n+1}=x_0x_n+Dy_0y_n$，$y_{n+1}=y_0x_n+x_0y_n$
  $x_{n+2}=2x_0x_{n+1}-x_n$，$y_{n+2}=2x_0y_{n+1}-y_n$
  通过这个定理，我们可以将上面分析中的那个Pell方程求出递推关系式，这样就可以解决这个问题了。

分析(2)

  据说还有打完表通过一些技巧推完后通过OEIS得出递推式的，这样也能得出正确答案（然而我并不知道怎么做），请聪明的读者自行思考。