试题算法提高新型斐波那契数列（矩阵快速幂 Java）

最新推荐文章于 2025-02-20 15:41:56 发布

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#矩阵 #算法 #java #线性代数

该博客介绍了如何利用矩阵快速幂的方法解决新型斐波那契数列中，求第n项模m的余数问题。通过避免简单的循环计算，采用矩阵相乘和快速幂算法，可以高效地处理大数n的情况，确保在1≤n≤1018和1≤m≤100的范围内不会超时。博主给出了矩阵相乘和快速幂的代码实现，并提供了完整的Java程序来解决这个问题。

问题描述 　　
新型斐波那契数列的第一、二、三项都为1，从第四项起每一项等于前面三项之和，求此数列第n项模m的余数。
输入格式
输入一行为两个整数n、m，用空格隔开。
输出格式 　　
输出一行为新型斐波那契数列第n项模m的余数。
样例输入
7 3
样例输出
2
数据规模和约定 　　
1 ≤ n ≤ 10¹⁸，1 ≤ m ≤ 100
题目链接：新型斐波那契数列

思路：
若直接一个for循环去计算第n项的值，10¹⁸会超时。可以根据矩阵的性质以及快速幂的方法去解决。

找快速幂的底数矩阵：通过规律我们发现底数矩阵为{ {0,1,0},{ {0,0,1},{1,1,1}}}
找到一般式
因为初始矩阵{ {F1},{F2},{F3}}为{ {1},{1},{1}}，所以根据矩阵相乘的性质，实际结果 $F n$ 为最终快速幂得到的矩阵的第三行之和。

矩阵相乘代码：

	public static int[][] mult(int[][] a, int[][] b) {
   
   
		int[][] res = new int[3][3];
		for (int i = 0; i < 3; i++) 
			for (int j = 0; j < 3; j++) 
				for (int k = 0; k < 3; k++) 
					res[i]