最短路算法总结

一、负权图

在一个图里每条边都有一个权值（有正有负)，如果存在一个环（从某个点出发又回到自己的路径），而且这个环上所有权值之和是负数，那这就是一个负权环，也叫负权回路。存在负权回路的图是不能求两点间最短路的，因为只要在负权回路上不断兜圈子，所得的最短路长度可以任意小。（没有最短路）

单源点的最短路径问题是指：给定一个加权有向图G和源点s，对于图G中的任意一点v，求从s到v的最短路径。

二、最短路

1、Bellman-Ford算法

2、Dijkstra算法(代码以邻接矩阵为例)    &&   Dijkstra + 优先队列的优化(也就是堆优化)

3、floyd-Warshall算法(代码以邻接矩阵为例)

4、SPFA(代码以前向星为例)

5、BFS求解最短路

最短路径的估计值：我们的源点用s表示。在这里我们用数组dis[N]来存储最短路径，dis[N]数组为源点到其他点的最小距离。那么最最开始的最短路径的估计值也就是对dis[N]的初始化。一般我们的初始化都是初始化为 dis[N]= +∞，源点是要初始化为0的，dis[s] = 0,因为s—>s的距离为0;

三、Bellman-Ford

Bellman-Ford算法是求解单源最短路径问题的一种算法。可以判断有无负权回路（若有，则不存在最短路），时效性较好，时间复杂度O（VE）。与Dijkstra算法不同的是，在Bellman-Ford算法中，边的权值可以为负数。设想我们可以从图中找到一个环路（即从v出发，经过若干个点之后又回到v）且这个环路中所有边的权值之和为负。那么通过这个环路，环路中任意两点的最短路径就可以无穷小下去。如果不处理这个负环路，程序就会永远运行下去。而Bellman-Ford算法具有分辨这种负环路的能力。

3.1 Bellman-Ford算法的流程如下：

给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，

·数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为inf, Distant[s]为0；

·以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) <Distant[v]，则令Distant[v]= Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

·为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) <Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说该图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，该算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E)。

3.2 bellman-ford算法求最短路 C/C++版

//起点都从1开始，图采用临接矩阵保存

所用数据结构 ：

struct node
{
    int u, v, w;//u 为起点，v为终点，w为u—>v的权值
};
node edge[100];

bool Bellman_Ford(int s) 

{ 

    for(int i = 1; i <= node_num;i++) //初始化 

        dis[i] =inf; 

    dis[s]=0;

    for(int i = 1; i < node_num; i++) //进行|V|-1次