快速幂 || 取余运算

题目描述：洛谷P1226 快速幂模板

先抛开取模解释一下计算原理；；

遇到偶数幂时 对指数平方（ b ^ 10 = ( b * b ) ^ 5  //这肯定是比一个一个乘快的，毕竟一下子解决了一半的幂

遇到奇数幂时 将这个b分离出来（ b ^ 5 = b * b ^ 4 ，而进行 ans * b 则是将 b 分离到另一个变量里面  //因为我们在偶数时才可以进行上面那种时间优化，所以把奇数变成偶数就又可以优化了

模拟：2 ^ 10

p = 10（偶数  ans = 1；4 ^ 5 ；

p = 5  （奇数  ans = 1 * 4 = 4；16 ^ ( 5 - 1 ) / 2  = 16 ^ 2 ；

p = 2  （偶数  ans = 4； 256 ^ 1 ；

p = 1  （奇数  ans = 4 * 256；1 ；

最后 p 一定是 1 所以 b 一定会乘到 ans 上面去

所以用一句话总结就是：当幂为偶数时，对 b 进行整个 幂/2 的计算；当幂为奇数时，将 b * b ^ p 拆分成 ans * b 和 b ^ p

2 ^ 7 = 2 * 2 ^ 6 = 2 * 4 ^ 3 = 2 * ( 4 * 4 ^ 2 ) = 2 * ( 4 * 16 ^ 1 ) 通过结合律为：( 2 * 4 ) * ( 16 ^ 1 )  // 最后一步 ans * b ;（这是顺着计算式一步一步的理解

但在实质上2 ^ 7 = 2 ^ ( 1 1 1 ) = 2 ^ ( 1 0 0 ) * 2 ^ ( 0 1 0 ) * 2 ^ ( 0 0 1 ) 就是将幂的二进制的1分离相乘

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qkpow(ll b,ll p,ll k){
    ll ans = 1;
    while(p){
        if(p & 1) ans = ans * b % k;
        b = b * b % k;
        p >>= 1; 
    }
    return ans;
}
int main(void){
    ll b,p,k;cin >> b >> p >> k;
    cout << b << '^' << p << " mod " << k << '=' << qkpow(b , p , k) % k << endl ;
    return 0;
}