hdu 1402 A * B Problem Plus FFT模板

最新推荐文章于 2024-05-27 20:23:16 发布

Jiahe Xu

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分类专栏：数学经典问题 hdu

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本文详细介绍了快速傅里叶变换（FFT）算法的基本原理及其实现步骤，包括多项式的系数表示到点值表示的转换过程，并通过具体实例展示了如何利用FFT进行大数相乘。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

FFT的实现..涉及大量的数学知识..搞不来..更玄学了.....
反正FFT就是能够在O(nlogb)时间内将系数表示法转化为点值表示法，相乘后再将点值表示法转为系数表示法，然后实现卷积。
FFT过程：
两个次数界为n的多项式A（x）和B（x）相乘，输入输出均采用系数表示法。（假定n为2的幂）
1）使次数界增加一倍：A（x）和B（x）扩充为次数界为2n的多项式，并构造起系数表示。
2）求值：两次应用2n阶FFT，计算出A（x）和B（x）的长度为2n的点值表示。
3）点乘：计算多项式C(x)=A（x）*B（x）的点值表示。
4）插值：对2n个点值对应用一次FFT计算出其逆DFT，就可以构造出多项式C（x）的系数表示。

第1步和第3步需要时间为O(n)，第2步和第4步运用FFT需要时间为O(nlogn)。

关于原理重要的就是这些了，想深入研究的可以去看ACdreamer的blog

本题是大数相乘

f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3.......

g(x)=b0+b1*x+b2*x^2+b3*x^3.......

x=10 这里注意多项式的表示方式和普通我们看到的顺序是反着的

k(x)=f(x)*g(x);

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 410000
#define pi acos(-1.0)
typedef complex<double> E;
int len,n,m,L;
char st1[maxn],st2[maxn];
int R[maxn],c[maxn];
E a[maxn],b[maxn];
void fft(E *a,int f)
{
    for(int i=0;i<len;i++)if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        E wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
        for(int j=0;j<=len;j+=(i<<1))
        {
            E w(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w*=wn)
            {
                E x=a[j+k],y=a[j+k+i];
                a[j+k]=x+w*y;
                a[j+k+i]=x-w*y;
            }
        }
    }
    if(f==-1) for(int i=0;i<=len;i++) a[i]/=len;
}
int main()
{
    while(scanf("%s%s",st1,st2)==2)
    {
        int l1,l2;
        l1=strlen(st1);l2=strlen(st2);
        l1--;l2--;////////////////////////////////下标都是从0开始
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(b,0,sizeof(b));
        memset(c,0,sizeof(c));
        ///////////////////////////////////////////////注意是反序
        for(int i=0;i<=l1;i++) a[i]=st1[l1-i]-'0';

        for(int i=0;i<=l2;i++) b[i]=st2[l2-i]-'0';

        m=l1+l2;
        L=0; for(len=1;len<=m;len<<=1)L++;//len为大于m的2的n次幂 为点表示法长度

        for(int i=0;i<len;i++) R[i] = (R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));

        fft(a,1);fft(b,1);
        for(int i=0;i<=len;i++) a[i]=a[i]*b[i];

        fft(a,-1);
        for(int i=0;i<=m;i++) c[i]=(int)(a[i].real()+0.1);
        for(int i=0;i<=m;i++)
        if(c[i]>=10)
        {
            c[i+1]+=c[i]/10;
            c[i]%=10;
            if(i==m) m++;
        }

        while(!c[m]&&m) m--;

        for(int i=m;i>=0;i--)printf("%d",c[i]);
        puts("");
    }
    return 0;
}