最短加法链和盒子里的气球问题的解决办法-优快云博客

1最短加法链问题

1.1问题定义

给定一个正整数和一个实数，我们面临着如何用最少的乘法次数计算出这个正整数的问题。例如，计算可以通过 6 次乘法逐步实现：。经过证明，这种方式确实是计算最少需要的 6 次乘法。在这个计算过程中，幂序列中各次组成了正整数的一个加法链，如对于整数 23，3、5、10、20、23 就组成了一个加法链。

1.2动态规划解决方法

定义状态：设dp[i]表示正整数i的最短加法链长度。
状态转移方程：对于正整数i，遍历小于i的正整数j和k，如果i = j + k，则dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)。
初始状态：dp[1] = 1。
通过这种方式，逐步计算出较大正整数的最短加法链长度。

1.3动态规划代码

def add_chain(n):
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    dp[1] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(1, i):
            for k in range(1, j + 1):
                if j + k == i:
                    dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)
    return dp[n]
n = 10
print(add_chain(n))

结果：测试n为10时输出5是正确的

2盒子里的气球问题

2.1问题定义

首先明确问题的目标是找到一种放置气球的顺序，使得放置完毕后所有气球占据的总体积最大。
由于气球会一直膨胀直到接触到其他气球或盒子的边界，并且必须等一个气球扩展完毕才能扩展下一个气球，所以放置气球的顺序会直接影响最终的总体积。

2.2贪心算法解决方法

初始化总体积为 0。
遍历所有未放置气球的点，对于每个点，计算如果在这个点放置气球后，气球膨胀到接触其他气球或盒子边界时所占据的体积增量。
选择体积增量最大的点放置气球，并更新总体积。
重复上述步骤，直到所有点都放置了气球。

2.3贪心算法代码

from itertools import permutations
import math


def get_maximum_volume(box_dims, points_list):
    max_balloon_volume = 0
    optimal_order = []

    for point_order in permutations(points_list):
        total_volume = 0
        occupied_coords = set()

        for point in point_order:
            px, py, pz = point
            max_radius = min(
                px, box_dims[0] - px,
                py, box_dims[1] - py,
                pz, box_dims[2] - pz
            )

            radius = 0
            for r in range(int(max_radius), 0, -1):
                if not any((px + dx, py + dy, pz + dz) in occupied_coords
                           for dx in range(-r, r + 1)
                           for dy in range(-r, r + 1)
                           for dz in range(-r, r + 1)
                           if dx ** 2 + dy ** 2 + dz ** 2 <= r ** 2):
                    radius = r
                    break

            if radius > 0:
                volume = (4 / 3) * math.pi * (radius ** 3)
                total_volume += volume

                for dx in range(-radius, radius + 1):
                    for dy in range(-radius, radius + 1):
                        for dz in range(-radius, radius + 1):
                            if dx ** 2 + dy ** 2 + dz ** 2 <= radius ** 2:
                                occupied_coords.add((px + dx, py + dy, pz + dz))

        if total_volume > max_balloon_volume:
            max_balloon_volume = total_volume
            optimal_order = point_order

    return max_balloon_volume, optimal_order


box_dims = (15, 15, 15)
points_list = [(2, 2, 2), (12, 12, 12), (7, 7, 7), (10, 10, 5)]
max_volume, best_arrangement = get_maximum_volume(box_dims, points_list)

print("Max Volume:", max_volume)
print("Best Arrangement:", best_arrangement)

测试长方体参数：