树形动态规划

题目描述

某大学有 $n$ 个职员，编号为 $1\dots n$。

他们之间有从属关系，也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树，父结点就是子结点的直接上司。

现在有个周年庆宴会，宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数 $r_i$，但是呢，如果某个职员的直接上司来参加舞会了，那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。

所以，请你编程计算，邀请哪些职员可以使快乐指数最大，求最大的快乐指数。

输入格式

输入的第一行是一个整数 $n$。

第 $2$ 到第 $(n+1)$ 行，每行一个整数，第 $(i+1)$ 行的整数表示 $i$ 号职员的快乐指数 $r_i$。

第 $(n+2)$ 到第 $2n$ 行，每行输入一对整数 $l,k$，代表 $k$ 是 $l$ 的直接上司。

输出格式

输出一行一个整数代表最大的快乐指数。

样例 #1

样例输入 #1

7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5

样例输出 #1

5

提示

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 6\times 10^3$，$-128\le r_i\le 127$，$1\le l,k\le n$，且给出的关系一定是一棵树。

解题思路

这是一道典型的树形dp题目。
首先，既然是dp问题，就要设置dp数组储存节点的最大值。
每个节点都可以选或者不选，那么dp[N][2]：

dp[N][0]表示不选这个节点，节点最大快乐值是多少；
以i为根节点，不选i ,就看子树的最大值是选还是不选 。
得到状态转移方程：
$dp[i][0]+=max(dp[j1][0],[j1][1])$

dp[N][1]表示选择这个节点，节点最大快乐值是多少。
以i为根节点，选i ，直接累加子树的最大值
得到状态转移方程：
$dp[i][1]+=dp[j1][0]...[jk][0]$

然后一直递推，直到递推到根节点即可。

那么如何找到根节点？没有父节点的节点就是根节点。
在输入的时候设置一个数组，记录它是否有父节点，输入完再进行第二次遍历就可以找到根节点了。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 6005;

int h[N],f[N],dp[N][2];

vector<int> g[N];

void add(int a,int b)
{
	g[a].push_back(b);
}

//dp[i][0] += max(dp[j1][0],j1[1])
//以i为根节点，不选i ,就看子树的最大值是选还是不选 
//dp[i][1] += dp[j1][0]...[jk][0]
// 以i为根节点，选i ，直接累加子树的最大值 

int n,root;

void dfs(int u)
{
	dp[u][1] = h[u];//至少是它自己的大小
	
	for(int i=0;i<g[u].size();i++)
	{
		int j = g[u][i];
		dfs(j);
		
		dp[u][0] += max(dp[j][0],dp[j][1]);
		dp[u][1] += dp[j][0];
	} 
}

int main()
{
	cin>>n;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>h[i];
	}
	
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		add(b,a);
		f[a] = 1;
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(f[i] == 0) root = i;
	}
	
	dfs(root);
	cout<<max(dp[root][0],dp[root][1]);
	
}