(2017多校训练第一场)HDU - 6038 Function 排列分解

如果不知道抽象代数(近世代数)中的排列分解这个知识点，建议去学习一下再来看这道题目。

直接看第二个样例吧，按照题目的意思可以得到如下方程。

然后进一步可得

函数有多少种，其实也就是上面这个方程有多少组解。

现在来观察一下这个方程，多么漂亮的形式，是不是很类似抽象代数中的循环排列呢？

不就说明了x是一个3阶循环排列中的元素吗！

不信的话，来看下面这个3阶循环排列

我们把f(0) = 2或者f(0) = 3或者f(0) = 1带入第一个方程发现都是成立的，同理第二和第三个方程也是这样，带入2 3 1也都是成立的。

但是实际上3个方程之间会相互制约，答案并不是9种，实际上只有3组解。

这三组解是循环的。

再来看这样一个1阶循环排列

虽然这个排列的阶数小于元素的阶数，但是0仍然是上面那个方程的解，读者可以自行验证。

也就是说如果是一个n阶循环排列，是一个m阶循环排列，如果m | n，则在n到m之间能够建立m个满足题意的映射。

所以我们需要将排列a和排列b分解成一个个的循环排列，然后暴力搜索一遍即可。

代码如下：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

const int MAX_N = 100005;

void f(vector<int>& v, int a[], int n)
{
    int mark[MAX_N] = {0};
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (!mark[i])
        {
            mark[i] = 1;
            int t = a[i];
            int cnt = 1;
            while (t != i)
            {
                mark[t] = 1;
                t = a[t];
                cnt++;
            }
            v.push_back(cnt);
        }
    }
}

int main()
{
    //freopen("test.txt", "r", stdin);
    int n, m;
    int Case = 1;
    int a[MAX_N], b[MAX_N];
    while (~scanf("%d%d", &n, &m))
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        for (int i = 0; i < m; i++)
            scanf("%d", &b[i]);
        vector<int> v1;
        f(v1, a, n);
        vector<int> v2;
        f(v2, b, m);
        int ans = 1;
        for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
        {
            int tmp = 0;
            for (int j = 0; j < v2.size(); j++)
            {
                if (v1[i] % v2[j] == 0)
                    tmp += v2[j];
            }
            ans *= tmp;
        }
        printf("Case #%d: ", Case++);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}