堆排序的概念

选择排序：在每一趟待排元素中选取关键字最小（或最大）的元素加入有序子序列

选择排序分为：

• 简单选择排序
• 堆排序

一、堆（Heap）的基本概念

若n个关键字序列L[1…n]满足下面某一条性质，则称为堆(Heap):

• 若满足：L(i)≥L(2i)且L(i)≥L(2i+1)(1≤i≤n/2）–大根堆
• 若满足：L(i)≤L(2i)且L(i)≤L(2i+1)(1≤i≤n/2) --小根堆

1.1 引入二叉树的顺序存储

有此可见，堆逻辑上可理解为一个顺序存储的完全二叉树

• 大根堆–根>左，右的完全二叉树
• 小根堆–根<左，右的完全二叉树

二、建立大根堆

基本思路：把所有分支结点检查一遍，判断是否满足大根堆的要求，如果不满足，则进行调整。

根据完全二叉树的性质：

• 2i<n
• 2i+1<n
• 叶子结点：i>n/2
• 分支结点：$i\le n/2$

故只需比较分支结点与其孩子结点的大小。找到最靠后的分支结点开始检查，如果不满足大根堆的条件，从左右孩子结点中挑较大的一个与根结点交换。接着不断从下往上调整（数组从后往前遍历）。

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举例帮助理解：

i=8；只需检查$i\le 4$的结点即可，即为上图圈出来的结点。
二叉树从下往上调整，故从09开始，接着检查78，然后是17，最后是53。
数组对应从后往前检查，i=4向前遍历。

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代码实现

建立大根堆：

void buildMaxHead(int arr[], int length) {
	for (int i = length / 2; i >= 1; i--) {//从后往前遍历数组
		HeadAdjust(arr, i, length);
	}
}

将以k为根的子树调整为大根堆：

void HeadAdjust(int arr[], int k, int len) {
	arr[0] = arr[k];//key
	for (int i = 2 * k; i <= len; i*=2) {//延key不断向下检查子节点
		if (arr[i] < arr[i + 1] && i + 1 <= len) { //将i指向较大子孩子
			i++;
		}
		if (arr[0] >= arr[i])//当满足大根堆，退出
			break;
		else {
			arr[k] = arr[i];
			k = i;//修改k值，继续向下检查
		}
	}
	arr[k] = arr[0];//将key放入最后检查的位置
}

三、基于大根堆进行排序

堆排序：每一趟将堆顶元素加入有序子序列(与待排序序列中的最后一个元素交换)

并将待排序元素序列再次调整为大根堆(小元素不断“下坠”)

举例帮助理解

此时已经完成一次堆排序，堆顶元素为最大元素

将堆顶元素队列末尾元素互换。接着不断进行HeadAdjust(arr,1,len-1)

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完整代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
int N;
int arr[100050];
void HeadAdjust(int arr[], int k, int len) {
	arr[0] = arr[k];
	for (int i = 2 * k; i <= len; i *= 2) {
		if (arr[i] < arr[i + 1] && i + 1 <= len) { //将i指向较大子孩子
			i++;
		}
		if (arr[0] > arr[i])
			break;
		else {
			arr[k] = arr[i];
			k = i;
		}
	}
	arr[k] = arr[0];
}
void buildMaxHead(int arr[], int length) {
	for (int i = length / 2; i >= 1; i--) {
		HeadAdjust(arr, i, length);
	}
}

int main() {
	cin >> N;
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		cin >> arr[i];
	}
	buildMaxHead(arr, N);//建立大根堆
	//基于大根堆的堆排序
	for (int i = N; i >= 1;) {
		int t = arr[i];
		arr[i] = arr[1];
		arr[1] = t;
		HeadAdjust(arr,1,--i);
	}
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		if (i != 1)
			cout << " ";
		cout << arr[i];
	}
}