BZOJ1220 HNOI2002 跳蚤【容斥原理+高精度】*

最新推荐文章于 2019-02-09 10:36:51 发布

Dream_Maker_yangkai

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分类专栏： c++ BZOJ 高精度容斥原理

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本文详细解析了BZOJ1220跳蚤问题，通过容斥原理解决高精度计算问题，提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

BZOJ1220 HNOI2002 跳蚤

Description

Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。当确定N和M后，显然一共有MN张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

Input

输入文件有且仅有一行，包括用空格分开的两个整数N和M。

Output

输出文件有且仅有一行，即可以完成任务的卡片数。 $1≤M≤10^8，1≤N≤M，$ 且 $M^N≤10^{16}$ 。（注意：这个数据范围是错的，此题需要高精度。）

Sample Input

2 4

Sample Output

HINT

此题需要高精度！

我们考虑有解的情况是什么
就是对于所有的 $i∈[1,n]i\in[1,n]$ 的gcd和m互质
直接统计不好搞，就可以用容斥的思想
考虑所有解减去不合法的解
那么如何考虑减去不合法解呢?
考虑容斥一下，累加最大公约数是i的方案数
然后对于i的容斥系数是 $1)^{i的质因子数}$
所以对于每个i的贡献是 $((mi)n(−1)i的质因子数)((\frac{m}{i})^n(-1)^{i的质因子数})$
前面一部分的意思是每个位置都可以选择i的倍数的方案数，这也是容斥系数的根源所在
for example：
$60 = 2 * 2 * 3 * 5$
一共有 $2, 3, 5$ 三个质因子
我们考虑60的贡献
在 $2, 3, 5$ 减去了贡献
在 $2 * 3, 2 * 5, 3 * 5$ 加上了贡献
所以在60处贡献减去（因为考虑的是减去不合法方案）
然后看10的贡献
在 $2, 5$ 减去了贡献
所以在10加上贡献
就很显然了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define LL long long
#define fu(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
#define fd(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
const int Base=10000;
struct Big{
  int len,w,t[N];
  Big(){len=w=1;memset(t,0,sizeof(t));}
}ans;
Big change(int a){
  Big c;c.len=0;
  if(a<0)c.w=-1;
  a=abs(a);
  while(a)c.t[++c.len]=a%Base,a/=Base;
  return c;
}
void print(Big c){
  if(c.w==-1)printf("-");
  printf("%d",c.t[c.len]);
  fd(i,c.len-1,1)printf("%04d",c.t[i]);
  printf("\n");
}
bool unsigned_cmp(Big a,Big b){//只比较数字大小
  if(a.len>b.len)return 1;
  if(a.len<b.len)return 0;
  fd(i,a.len,1){
    if(a.t[i]>b.t[i])return 1;
    if(a.t[i]<b.t[i])return 0;
  }
  return 1;
}
Big unsigned_add(Big a,Big b){
  Big c;c.len=max(a.len,b.len);
  fu(i,1,c.len)c.t[i]=a.t[i]+b.t[i];
  fu(i,1,c.len){
    if(c.t[i]>Base){
      c.t[i]-=Base;
      c.t[i+1]++;
      if(i==c.len)c.len++;
    }
  }
  return c;
}
Big unsigned_sub(Big a,Big b){
  Big c;c.len=max(a.len,b.len);
  fu(i,1,c.len)c.t[i]=a.t[i]-b.t[i];
  fu(i,1,c.len){
    if(c.t[i]<0){
      c.t[i]+=Base;
      c.t[i+1]--;
    }
  }
  fd(i,c.len,1){
    if(!c.t[i])c.len--;
    else break;
  }
  return c;
}
Big add(Big a,Big b){
  Big c;
  if(unsigned_cmp(b,a))swap(a,b);
  if(a.w==1&&b.w==1)c=unsigned_add(a,b),c.w=1;
  if(a.w==1&&b.w==-1)c=unsigned_sub(a,b),c.w=1;
  if(a.w==-1&&b.w==1)c=unsigned_sub(a,b),c.w=-1;
  if(a.w==-1&&b.w==-1)c=unsigned_add(a,b),c.w=-1;
  return c;
}
Big sub(Big a,Big b){b.w=0-b.w;return add(a,b);}
Big mul(Big a,Big b){
  Big c;c.w=a.w*b.w;
  c.len=a.len+b.len-1;
  fu(i,1,a.len)
    fu(j,1,b.len)
      c.t[i+j-1]+=a.t[i]*b.t[j];
  fu(i,1,c.len){
    if(c.t[i]>Base){
      c.t[i+1]+=c.t[i]/Base;
      c.t[i]%=Base;
      if(i==c.len)c.len++;
    }
  }
  return c;
}
Big fast_pow(Big a,int b){
  Big ans;ans.t[1]=1;
  if((b&1)&&a.w==-1)ans.w=-1;
  while(b){
    if(b&1)ans=mul(ans,a);
    b>>=1;
    a=mul(a,a);
  }
  return ans;
}
int n,m;
int p[N],cnt=0;
bool check(int vl){
  fu(i,2,sqrt(vl))
    if(vl%i==0)return 0;
  return 1;
}
void divide(int num){
  fu(i,2,num){
    if(num%i==0&&check(i)){
      p[++cnt]=i;
      while(num%i==0)num/=i;
    }
  }
}
void dfs(int tmp,LL sum,int typ){
  if(tmp>cnt)return;
  dfs(tmp+1,sum,typ);
  sum*=p[tmp];typ*=-1;
  Big now=change(sum);
  now=fast_pow(change(m/sum),n);
  now.w=typ;
  ans=add(ans,now);
  dfs(tmp+1,sum,typ);
}
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  divide(m);
  ans=fast_pow(change(m),n);
  dfs(1,1ll,1);
  print(ans);
  return 0;
}