快速傅立叶变换推导

最新推荐文章于 2025-04-29 11:58:07 发布

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#FFT #DFT #傅里叶变换

本文深入探讨了离散傅立叶变换（DFT）及其快速傅立叶变换（FFT）算法，包括基2时域抽取FFT、基2频率抽取FFT和基4频域抽取FFT的详细推导过程，揭示了FFT如何有效地计算复杂序列的傅立叶变换。

离散信号傅立叶变换

$X(k)=∑n=0Nx(n)WNnkX(k)=\sum_{n=0}^Nx(n)W_N^{nk}$

其中

$WN=e−j2πNW_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}$

$k = 0, 1, . . ., N - 1$

基2时域抽取FFT

离散傅立叶变换为

$X(k)=∑n=0Nx(n)WNnkX(k)=\sum_{n=0}^Nx(n)W_N^{nk}$

可分解为

$X(k)=∑n=0N2−1(x(2n)WN2nk+x(2n+1)WN(2n+1)k)X(k)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}(x(2n)W_N^{2nk}+x(2n+1)W_N^{(2n+1)k})$

$=∑n=0N2−1x(2n)WN2nk+∑n=0N2−1x(2n+1)WN(2n+1)k\quad = \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)W_N^{2nk}+\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)W_N^{(2n+1)k}$

$=∑n=0N2−1x(2n)WN2nk+WNk∑n=0N2−1x(2n+1)WN(2n)k(EQ.1)\quad = \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)W_N^{2nk}+W_N^{k}\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)W_N^{(2n)k}\quad(EQ.1)$

序列x(n)分解

$偶数项x1(n)=x(2n),其中n=0,1,...,N2−1偶数项x1(n)=x(2n),其中n=0,1,...,\frac{N}{2}-1$

$奇数项x2(n)=x(2n+1),其中n=0,1,...,N2−1奇数项x2(n)=x(2n+1),其中n=0,1,...,\frac{N}{2}-1$

则相应DFT

$X1(k)=∑n=0N2−1x1(n)WN2nk,其中k=0,1,...,N2−1X_1(k)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x1(n)W_{\frac{N}{2}}^{nk},其中k=0,1,...,\frac{N}{2}-1$

$X2(k)=∑n=0N2−1x2(n)WN2nk,其中k=0,1,...,N2−1X_2(k)=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x2(n)W_{\frac{N}{2}}^{nk},其中k=0,1,...,\frac{N}{2}-1$

其中

$WN2nk=e−j2πnkN2W_{\frac{N}{2}}^{nk} = e^{-j\frac{2\pi nk}{\frac{N}{2}}}$

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