快速傅立叶变换推导

离散信号傅立叶变换

$X(k)={\sum }_{n=0}^{N}x(n)W_N^{nk}$

其中

$W_N=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$

$k=0,1,...,N-1$

基2时域抽取FFT

离散傅立叶变换为

$X(k)={\sum }_{n=0}^{N}x(n)W_N^{nk}$

可分解为

$X(k)={\sum }_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}(x(2n)W_N^{2nk}+x(2n+1)W_N^{(2n+1)k})$

$={\sum }_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)W_N^{2nk}+{\sum }_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)W_N^{(2n+1)k}$

$={\sum }_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n)W_N^{2nk}+W_N^k{\sum }_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2n+1)W_N^{(2n)k}(EQ.1)$

序列x(n)分解

$偶数项x1(n)=x(2n),其中n=0,1,...,\frac{N}{2}-1$

$奇数项x2(n)=x(2n+1),其中n=0,1,...,\frac{N}{2}-1$

则相应DFT

$X_1(k)={\sum }_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x1(n)W_{\frac{N}{2}}^{nk},其中k=0,1,...,\frac{N}{2}-1$

$X_2(k)={\sum }_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}x2(n)W_{\frac{N}{2}}^{nk},其中k=0,1,...,\frac{N}{2}-1$

其中

$W_{}$