卡特兰数初探

         我第一次知道卡特兰数是在这样一道题中：

         Supposethe coming sequence into a stack is: 1，2，3，4……n . Writea function to print all the possibilities of output sequence.
         我是用最笨的深搜dfs来做的。代码如下：
    

    

#include "stdafx.h"
#include <stack>
#include <queue>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int n = 0;
typedef stack<int> Stack;
typedef queue<int> Queue;

void dfs(int level,Stack s, Queue buf, const int LEVEL);

void dfs(int level,Stack s, Queue buf, const int LEVEL)
{
	if (level == LEVEL)
	{
		// whether the last one goes into print queue
		// or goes into stack
		// has the same effect
		buf.push(level);
		while(!buf.empty())
		{
			cout<<buf.front()<<" ";
			buf.pop();
		}
		while(!s.empty())
		{
			cout << s.top()<<" ";
			s.pop();
		}
		cout<<endl;
		n++;
		return;
	}
	Stack tempStack(s);
	Queue tempQueue(buf);
	tempStack.push(level);
	Stack tempStack2 = tempStack;
	while(!tempStack.empty())
	{
		tempQueue.push(tempStack.top());
		tempStack.pop();
		dfs(level+1, tempStack, tempQueue, LEVEL);
	}
	dfs(level+1, tempStack2, buf, LEVEL);
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    unsigned int cases;
    int x;
	scanf_s("%d", &cases);
	while(cases--)
    {	
		Stack s = Stack();
		Queue q = Queue();
		cin>>x;
        dfs(1, s, q, x);
        cout<<"the catalan number of "<<x<<" is "<<n<<endl;
        n=0;
    }
	system("pause");
}

    

         当我查阅百度百科“卡特兰数”条目之后，发现卡特兰数不仅和出栈顺序关联，还有这些最基本应用：
         设h(n)代表

①  括号化问题：矩阵链乘法：N个矩阵有多少种括号化方案？-------h(n)

②  出栈顺序的变形：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数；有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

③  将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

④  给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
先取一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + + h(n-1)h(0)=h(n)

我有这样一个想法：能不能用二叉树优化打印序列？（不用把庞大的stack和queue当做参数传递。只要把每一种构型的二叉树遍历一下就好啦。）