《算法导论》线性时间O(n)排序

最新推荐文章于 2023-10-03 23:32:59 发布

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这篇博客探讨了三种能在线性时间O(n)内完成排序的算法：计数排序、基数排序和桶排序。这些非比较排序算法对输入序列有一定要求，如计数排序适用于0到k之间的整数，基数排序针对数字的数位进行排序，而桶排序则依赖于输入元素的均匀分布。通过理解这些算法的工作原理，可以在特定条件下实现高效的排序操作。

基于元素间比较的排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序是常见的时间代价为O(nlogn)的排序算法，它们都是《算法导论》第8章给出证明，“对于n个元素的输入序列，任何比较排序在最坏情况下都要用Big Omega(nlogn)次比较进行排序”。因此，归并排序和堆排序都是渐近最优的（下界为nlogn），快速排序最坏情况时间代价为O(n^2)。

非比较的三种算法：计数排序、基数排序和桶排序，对输入序列有一定的要求，可以实现线性时间代价O(n)的排序。

计数排序（counting_sort）

要求输入的n个数为介于0到k之间的整数，当k=O(n)时，计数排序的运行时间为Big Theta(n)。

基本原理是：对每一个输入元素x，统计出小于x的元素个数c，那么可以把x放置到第c+1的位置。

def counting_sort(A, k):
    count = [0]*(k + 1)
    result = [0] * len(A)

    for j in xrange(len(A)):
        count[A[j]] += 1
    for i in xrange(1, k + 1):
        count[i] += count[i - 1]

    for j in xrange(len(A) - 1, -1, -1):
        result[count[A[j]] - 1] = A[j] # Remember '- 1'
        count[A[j]] -= 1
    return result

if __name__ == '__main__':
    A = [4, 0, 4, 3, 6, 1, 7, 6, 5]
    print counting_sort(A, 7)

基数排序（radix_sort）

基数排序是对数字，逐个数位，从低到高排序（如先排个位，然后排十位）。如图所示：

radix_sort

伪代码如下：

RADIX-SORT(A, d)
"""
each element has d digits
"""
for i = 1 to d do
    use stable sort to sort A on digit i

桶排序（bucket_sort）

桶排序要求输入数字服从均匀分布（如0到1区间的分布）。

基本原理：把区间[0, 1)划分成n个大小相同的子区间（bucket），将输入的n个数映射分配到n个桶。对每个桶内的元素排序，然后依次把各个桶的排序结果拼接起来。由于输入元素服从均匀分布，不会出现很多元素落到一个桶的情况。如图所示：

bucket_sort

《算法导论》给出的伪代码：

BUCKET-SORT(A)
n = length(A)
for i = 1 to n do
    insert A[i] into list B[floor(n*A[i])]
for i = 0 to n - 1 do
    sort list B[i] with insertion sort
concatenate the lists B[0], B[1], ..., b[n - 1] in order