独立集

探讨通过冒泡排序产生的无向图中的最大独立集问题,利用线段树实现最长不下降子序列的求解,并找出必定包含在最大独立集中的节点。

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题目描述
有一天,一个名叫顺旺基的程序员从石头里诞生了。又有一天,他学会了冒泡排序和独立集。在一个图里,独立集就是一个点集,满足任意两个点之间没有边。于是他就想把这两个东西结合在一起。众所周知,独立集是需要一个图的。那么顺旺基同学创造了一个算法,从冒泡排序中产生一个无向图。
这里写图片描述
那么我们要算出这个无向图G最大独立集的大小。但是事情不止于此。顺旺基同学有时候心情会不爽,这个时候他就会要求你再回答多一个问题:最大独立集可能不是唯一的,但有些点是一定要选的,问哪些点一定会在最大独立集里。今天恰好他不爽,被他问到的同学就求助于你了。

输入
两行。第一行为N,第二行为1到N的一个全排列。

输出
两行。第一行输出最大独立集的大小,第二行从小到大输出一定在最大独立集的点的编号(输入时的序号),每个编号后面空一个空格。

样例输入
3
3 1 2
样例输出
2
2 3

提示
【数据范围】
30%的数据满足 N<=16
60%的数据满足 N<=1,000
100%的数据满足 N<=100,000

Solution

第一问很简单,就是LIS长度
第二问的意思是最长不下降子序列的方案有许多种,需要确定哪些是肯定在方案中的。
我始终想不出用二分法的LIS应该如何解决这个,最好能够知道每个点LIS的值。
这个可以用线段树做,正着一遍,倒着一遍。
唯一性的判断可以自己再思考一下。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define p1 id<<1
#define p2 id<<1^1
using namespace std;
int n,ans;
int a[100005],f[100005],h[100005],tree[400005],ok[100005];
int query(int id,int l,int r,int x,int y)
{
    if(x<=l&&r<=y) return tree[id];
    int mid=(l+r)/2;
    if(y<=mid) return query(p1,l,mid,x,y);
    else
    if(x>mid) return query(p2,mid+1,r,x,y);
    else return max(query(p1,l,mid,x,mid),query(p2,mid+1,r,mid+1,y));
}
void update(int id,int l,int r,int x,int y)
{
    if(l==r) 
    {
        tree[id]=y;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(x<=mid) update(p1,l,mid,x,y); else update(p2,mid+1,r,x,y);
    tree[id]=max(tree[p1],tree[p2]);
}
void build(int id,int l,int r)
{
    if(l==r) 
    {
        tree[id]=0;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    build(p1,l,mid);
    build(p2,mid+1,r);
    tree[id]=0;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        if(a[i]==1) f[i]=1; else f[i]=query(1,1,n,1,a[i]-1)+1;
        update(1,1,n,a[i],f[i]);
    }
    build(1,1,n);
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        if(a[i]==n) h[i]=1; else h[i]=query(1,1,n,a[i]+1,n)+1;
        update(1,1,n,a[i],h[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        if(h[i]+f[i]==ans+1) 
        {
            if(ok[f[i]]==0) ok[f[i]]=i; else ok[f[i]]=-1;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    for(int i=1;i<=ans;i++) 
    if(ok[i]>0) printf("%d ",ok[i]);
    return 0;
}
### 图论中的独立集概念 在图论中,独立集是指在一个无向图 \( G=(V,E) \) 中的一组顶点子集 \( S\subseteq V \),其中任意两点之间不存在边连接[^2]。换句话说,如果两个节点属于同一个独立集,则它们之间不可能有直接的边相连。 #### 最大独立集 最大独立集指的是所有可能独立集中规模最大的那个集合。寻找一个图的最大独立集是一个NP难问题,在实际应用中通常采用近似算法或者启发式方法求解[^2]。 ### 解决独立集问题的相关算法 对于独立集问题,虽然精确计算复杂度较高,但仍有一些经典的方法可以用来找到较好的解决方案: 1. **贪心算法** 利用贪心策略解决独立集问题是常见的一种方式。该方法每次从未被覆盖的节点中选取度数最低的一个加入到当前独立集中,并移除与其相邻的所有其他节点及其关联边直到无法再继续为止[^1]。 2. **动态规划 (适用于特定条件下的小型稠密图)** 动态规划也可以用于某些特殊情况的小型密集图上的独立集查找问题。然而由于状态空间爆炸的原因,这种方法仅限于非常小规模的情况适用[^3]。 3. **整数线性规划(ILP)建模并借助优化工具求解** 将独立集问题转化为ILP模型也是一种有效途径。设变量\(x_i\)表示第i个顶点是否选入最终结果(取值0或1),则目标函数最大化∑xi的同时需满足约束条件∀{u,v}∈E,x_u+x_v≤1. 以下是基于Python实现的一个简单的贪心算法示例: ```python def greedy_independent_set(graph): independent_set = set() vertices = list(graph.keys()) while vertices: v = min(vertices, key=lambda x: len(graph[x])) # Select vertex with minimum degree. independent_set.add(v) neighbors_and_self = {v}.union(set(graph[v])) vertices = [vertex for vertex in vertices if vertex not in neighbors_and_self] return independent_set ``` 此代码片段展示了一个基本版本的贪婪算法来获取给定图形的大致独立集[^1]。
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