算法 素数筛法

素数筛法

关键思想

素数筛法是ACM 及各大比赛中必须熟练掌握的最低级的算法，在已知某些素数的情况下对未判断的数进行筛选，筛选掉必然不是素数的数。如何对数进行筛选，依据素数的性质，某个除1以外的正整数是素数，则该数的倍数一定不是素数

举个栗子

从1-10中筛选出所有素数

步骤	当前元素	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
原始数组	/	/	0	0	0	0	0	0	0	0	0
第一步	2	/	0	0	1	0	1	0	1	0	1
第二步	3	/	0	0	1	0	1	0	1	1	1
第三步	5	/	0	0	1	0	1	0	1	1	1
第四步	7	/	0	0	1	0	1	0	1	1	1

以第一步为例：当前元素为2，则将$2*2=4$，$2*3=6$，$2*5=10$都置为合数，即每次都将当前为素数的元素的倍数从候选的数中除去。
循环上述过程，则可得到最终的数组，数组中为0的则该元素为素数，否则为合数。

代码如下

#include <cstdio>
#define MAXN 11
int prime[MAXN] = {1, 1}; //第0，1个元素直接设为合数，合数设为1，素数为0
int main() {
    //素数筛法求素数
    for (int i = 0; i < MAXN; ++i) {
        if (!prime[i]) {//若该数是素数，则将该数的倍数全设为合数。
            //printf("%d ",i); 答应当前元素
            for (int j = 2 * i;  j <= MAXN; j+=i) {//筛选掉必然是合数的数
                prime[j] = 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

复杂度

该算法的复杂度为$O(n^2)$，但常系数非常小，实际运行时接近$O(N)$复杂度，并且随着筛选的进行，可以仔细思考一下，最后筛选掉的数越来越多，剩下的素数越来越小，即素数之间的间隔越来越大。

关于优化

在素数筛法的过程中，有许多重复计算的过程可以进行优化，例如上述例子中，元素6和元素10都筛选了两次，就是表格中红了两次。
下边列一下可以优化的点，就不具体实现了。
1. 避免重复筛选
2. 偶数直接可以不参与筛选，并且依据这个规则可以将数组大小优化掉一半
说明一下第二点可以优化空间的方法，例如原数组的第$i$个元素代表数字i是否为素数，若直接将偶数去除，则数组的第$i$个元素则可代表数字$2*i-1$是否为素数。

进阶

想继续学习素数有关知识的可以看看以下几个知识点

1. 费马测试
2. Miller-Rabin 质数测试
3. 欧拉-雅科比测试
4. AKS质数测试

等等素性测试算法，可能以后会在详细讨论这些算法。