Efficient Variants of the ICP Algorithm

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#3d #算法

本文详细介绍ICP算法（Iterative Closet Point），一种常用的三维网格配准技术。探讨了ICP算法的不同变体及其在取样、匹配、权重设置、删除准则和误差度量等方面的改进，并通过实验对比了各种变体的效果。

ICP算法(Iterative Closet Point)是三维网格注册的经典算法，常用于对物体不同角度拍摄的三维扫描像的对齐。ICP算法起始条件包括两个待注册的网格和两个网格相对关系（旋转、平移）的初始估计，算法迭代的选取两个网格的关联点对，计算点对的距离，通过最小化所有点对的距离和解优化问题求得两个网格的旋转、平移关系。由于ICP方法的广泛使用，研究人员对ICP方法也提出了多种改进。改进集中在：

  1. 取样：选择一个或两个网格上的部分点作为样本
  2. 匹配：建立样本点的关联关系
  3. 置权：给关联样本点对设置权重
  4. 删除：对不符合条件的关联点对做删除
  5. 误差度量：给关联点对设置误差度量
  6. 最优化：最优化误差度量

文章对上述几个方向的ICP变体，生成指定的数据进行测试比较。文章所用的数据包括：1.Wave；2.Fractal landscape；3.Incised plane。

用来比较的ICP基准算法是：

  • 在两个网格上随机取样
  • 匹配最近点对作为关联点对，且要求关联点对法向偏差不超过45度
  • 所有关联点对设置平均权重
  • 删除包含边缘点的关联点对，距离最大的一定比例的关联点对也做删除
  • 点到面误差度量
  • 经典的“取样-匹配-最优化”的迭代过程
取样方法
  • Uniform Sampling
  • Random Sampling
  • Normal Space Sampling：选择样本点使得样本点法向散布最大

对于wave场景，由于不同点的法向分布很均匀，所以不同的取样方式收敛速度差别不大。而对于incised plane场景，由于不同点的法向差别很大，所以normal space sampling可以尽可能多的选择不同法向的关联点，具有最快的收敛速度，且注册误差最小。

点对匹配

  • closet point：选择另一个网格上的最近点构建关联点对，可以使用kd-tree加速
  • normal shooting：从源点出发沿着源点法向的光线与目标网格的交点，与源点构成关联点对
  • project：以目标网格的相机光心作为起点，计算源点到目标网格的投影点，与源点构成关联点对
  • project and walk：将源点投影到目标网格，在目标深度图上指向搜索得到关联点

对于fractal测试场景，由于closet point方法对与噪声敏感，所以收敛速度最慢，而收敛最快的方法是normal shooting方法。但是对于incised plane场景，只有closet point方法最终收敛到正确答案。有次可以得到结论closet point方法不是收敛最快的，但却是最鲁棒的匹配方法。

权值设置
  • constant weight
  • linear with distance：weight = 1 - (Dist(p1,p2)/Dist_max)
  • Compatibility of normals：weight = n1.n2
  • Uncertainty：基于相机噪声的权值设置

从结果来看，不同的设置权值方式对收敛速度的影响很小，并且是受数据集相关的。

删除准则
  • 距离超过固定门限的关联点对删除
  • 距离最大的n%关联点对删除
  • 距离超过2.5倍标准差的关联点对删除


结论是，删除关联点对可能会提高注册的稳定性和精确度，但是对于注册的收敛速度影响不大。

误差度量
  • point-to-point
  • point-to-plane

从两个场景来看，point-to-plane的收敛速度都快于point-to-point。特别是incised plane，由于pont-to-point方法不允许平面的滑动，所以无法获得准确的旋转平移。


本文是3-D Digital Imaging and Modeling, 2001的一篇文章，Google学术的引用达到2920次。

文章以达到收敛所需的迭代次数为判别准则比较ICP多个角度的变体，基本覆盖了在实际ICP工程应用中可以调整的各种方案。


【吴】

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论文Efficient Variants of the ICP Algorithm阅读笔记，该论文是关于icp变体算法比较经典的文章，本篇博客为论文阅读笔记，只对关键内容进行提取，并包含个人理解，如有错漏敬请指正。
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论文阅读笔记：Comparing ICP variants on real-world data sets-在真实数据集上比较icp变体
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转载： 翻译：快速刚性ICP(Efficient Variants of the ICP Algorithm 论文阅读) 概括：3D【22】ICP配准：Efficient Variants of the ICP Algorithm
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Four variants of the ansatz are commonly used in quantum chemistry; they are also all available in PySCF.
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<think>首先，用户的问题是关于量子化学中四种常见的ansatz变体及其在PySCF中的实现。用户提到了“Four common ansatz variants in quantum chemistry and their implementation in PySCF”。 我需要确保我的回答基于系统级指令：使用中文回答，结构清晰，帮助用户逐步解决问题，并保证真实可靠。同时，我必须遵循LaTeX格式规则：行内数学表达式用$...$，独立公式用$$...$$并单独成段。 用户提供了引用：[^1]是关于变分量子线性求解器与动态ansatz的论文总结，[^2]是关于量子玻尔兹曼机的。这些引用可能不是直接相关的，但用户说“上述引用仅供参考”，所以我应该主要参考用户的问题。 用户的上一个问题可能是关于ansatz在量子化学中的变体，所以我需要基于知识来回答。 回顾量子化学中的常见ansatz变体： 1. **Hartree-Fock (HF) Ansatz**：这是基础，用于平均场近似。 2. **Coupled Cluster (CC) Ansatz**：例如CCSD（Coupled Cluster Singles and Doubles），广泛用于高精度计算。 3. **Configuration Interaction (CI) Ansatz**：例如CISD（Configuration Interaction Singles and Doubles）。 4. **Density Functional Theory (DFT) Ansatz**：虽然DFT不是严格意义上的ansatz，但它是基于交换相关泛函的近似。 在量子计算中，ansatz指的是参数化量子电路，用于变分量子算法。用户提到了量子化学，所以我应该聚焦在量子化学计算中的ansatz。 在PySCF（Python-based Simulation of Chemistry Framework）中，它是一个量子化学软件包，支持各种方法。 常见的ansatz在PySCF中的实现： - **Hartree-Fock (HF)**：PySCF有内置的HF实现。 - **Coupled Cluster (CC)**：PySCF支持CCSD、CCSD(T)等。 - **Configuration Interaction (CI)**：支持CISD、FCI（Full Configuration Interaction）等。 - **Multiconfigurational Self-Consistent Field (MCSCF)**：例如CASSCF（Complete Active Space Self-Consistent Field）。 用户指定了“four common ansatz variants”，所以我需要列出四个。 可能的四个： 1. Hartree-Fock (HF) 2. Coupled Cluster (CCSD) 3. Configuration Interaction (CISD) 4. Density Functional Theory (DFT) 或更具体地，比如CASSCF。 在量子化学中，ansatz通常指的是波函数的形式。所以： - HF Ansatz：单行列式波函数。 - CC Ansatz：指数化的激发算符作用于参考波函数。 - CI Ansatz：线性组合的激发态。 - MCSCF Ansatz：在活性空间中优化行列式。 在PySCF中，这些都有实现。 现在，关于实现： - PySCF有模块如 `pyscf.scf` 用于HF， `pyscf.cc` 用于CC， `pyscf.ci` 用于CI， `pyscf.mcscf` 用于MCSCF。 我需要提供代码示例或简要说明如何实现。 用户说“implementation in PySCF”，所以我应该给出简单的代码片段，类似于快速排序的示例。 但用户的问题是“Information about ansatz variants”，所以我先解释每个ansatz，然后给出PySCF实现。 结构回答： 1. 介绍：简要解释ansatz在量子化学中的意义。 2. 列出并描述四种常见ansatz变体。 3. 为每个提供PySCF中的实现示例。 4. 确保使用LaTeX格式数学表达式。 例如，对于HF，波函数是 $|\Psi_{\text{HF}}\rangle$，等等。 最后，生成相关问题，如系统指令所示。 相关问题示例： 1. 如何选择适合特定分子的ansatz？ 2. 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Hartree-Fock (HF) Ansatz HF Ansatz 是最基础的量子化学方法，它使用单行列式波函数来描述电子结构，基于平均场近似。波函数形式为： $$ |\Psi_{\text{HF}}\rangle = \hat{A} \left( \phi_1 \phi_2 \cdots \phi_N \right) $$ 其中，$\hat{A}$ 是反对称化算符，$\phi_i$ 是分子轨道。HF方法计算高效，但忽略了电子相关性，适用于简单分子体系。 **在PySCF中的实现**： PySCF的`scf`模块提供了HF计算。以下是一个简单示例，计算水分子的HF能量： ```python from pyscf import gto, scf # 定义水分子（H2O）的几何结构 mol = gto.M(atom='O 0 0 0; H 0 0.757 0.587; H 0 -0.757 0.587', basis='sto-3g') hf = scf.RHF(mol) # 限制性Hartree-Fock hf.kernel() # 执行计算 print("HF能量:", hf.e_tot) ``` 此代码使用STO-3G基组，输出HF总能量。PySCF自动处理自洽场迭代，适用于中小分子[^1]。 #### 2. 耦合簇 (Coupled Cluster, CC) Ansatz CC Ansatz 通过指数化激发算符引入电子相关性，提高精度。常用变体是CCSD（Coupled Cluster Singles and Doubles），其波函数为： $$ |\Psi_{\text{CC}}\rangle = e^{\hat{T}} |\Psi_{\text{HF}}\rangle $$ 其中，$\hat{T} = \hat{T}_1 + \hat{T}_2$ 是单、双激发算符。CCSD在计算中占主导，但计算成本较高（$O(N^6)$），适用于精确能量预测。 **在PySCF中的实现**： PySCF的`cc`模块支持CCSD。以下示例在HF基础上进行CCSD计算： ```python from pyscf import cc # 基于HF结果进行CCSD cc_calc = cc.CCSD(hf) # hf是上一步的HF对象 cc_calc.kernel() # 执行CCSD计算 print("CCSD能量:", cc_calc.e_tot) ``` 此代码输出CCSD校正后的能量。PySCF还支持CCSD(T)（包含三激发），用于更高精度[^1]。 #### 3. 组态相互作用 (Configuration Interaction, CI) Ansatz CI Ansatz 使用激发态的线性组合来构建波函数，例如CISD（Configuration Interaction Singles and Doubles）。波函数形式为： $$ |\Psi_{\text{CI}}\rangle = c_0 |\Psi_{\text{HF}}\rangle + \sum_{i,a} c_i^a |\Psi_i^a\rangle + \sum_{i<j,a<b} c_{ij}^{ab} |\Psi_{ij}^{ab}\rangle $$ 其中，$c$ 是变分参数。CI方法简单，但尺寸一致性差，适用于激发态计算。 **在PySCF中的实现**： PySCF的`ci`模块提供CISD实现。示例代码如下： ```python from pyscf import ci # 基于HF结果进行CISD ci_calc = ci.CISD(hf) # hf是HF对象 ci_calc.kernel() # 执行CISD计算 print("CISD能量:", ci_calc.e_tot) ``` 此代码计算CISD能量，适用于中小体系的基态和低激发态[^1]。 #### 4. 多组态自洽场 (Multiconfigurational Self-Consistent Field, MCSCF) Ansatz MCSCF Ansatz 结合了活性空间优化，例如CASSCF（Complete Active Space Self-Consistent Field）。它使用多行列式波函数： $$ |\Psi_{\text{MCSCF}}\rangle = \sum_I c_I |\Phi_I\rangle $$ 其中，$|\Phi_I\rangle$ 是活性空间中的行列式。MCSCF处理强相关体系（如过渡金属）效果好，但计算复杂。 **在PySCF中的实现**： PySCF的`mcscf`模块支持CASSCF。以下示例定义活性空间并计算： ```python from pyscf import mcscf # 定义活性空间（例如，水分子：4个电子在3个轨道） n_elec = 4 # 活性电子数 n_orb = 3 # 活性轨道数 cas_calc = mcscf.CASSCF(hf, n_orb, n_elec) # hf是HF对象 cas_calc.kernel() # 执行CASSCF计算 print("CASSCF能量:", cas_calc.e_tot) ``` 此代码在HF基础上进行CASSCF，需手动指定活性空间，适用于强相关分子[^1]。 ### 总结 以上四种ansatz变体（HF、CC、CI、MCSCF）覆盖了量子化学计算的常见需求：HF用于快速初始估计，CC用于高精度基态，CI用于激发态，MCSCF用于强相关体系。在PySCF中，这些ansatz通过模块化接口实现，用户可基于分子体系选择合适方法。PySCF的文档和社区资源提供了进一步优化指导，如基组选择和并行计算[^1]。动态ansatz在量子计算中也有应用，例如通过变分量子算法优化波函数[^1]。
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