P3059 [USACO12NOV] Concurrently Balanced Strings G 题解-优快云博客

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文章讨论了一种特殊的奶牛图案问题，涉及括号字符串的平衡性和并发平衡的概念。作者分享了在编程竞赛中使用O(nm^2)双指针策略解决这个问题的经历，并详细解释了如何通过转换括号、维护前缀和以及利用哈希表来优化算法，达到O(nmlogm)的时间复杂度。

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前言

现在是 $2023$ 年 $7$ 月 $29$ 日凌晨 $1$ 点 $47$ 分，我听着我歌单的歌，进入了精神极其不正常的状态（正经人谁在凌晨边听摇滚边写题啊）。

所以我会胡言几句，大家请选择性忽视。

这道题是我们欢乐赛搬的，考场上用朴素的 $O(nm^2)$ 双指针水出了 $89$ 分的佳绩。

考试之后因为没有暴切十分气愤啊！所以研读了一手第一篇题解，写出了这个没什么区别但是有大区别的高级重置优秀版。

原题展现

农夫约翰养了一只非常特殊的奶牛品种，以其独特的外貌而闻名，每只奶牛的皮上都有一个巨大的圆形斑点（根据奶牛的朝向不同，这可能看起来像左括号或右括号）。

一天早上，约翰把他的奶牛们分成了 $K$ 行，每行 $N$ 头奶牛（ $\leq K \leq 10, 1 \leq N \leq 50,000$ ）。由于奶牛们朝向任意方向，所以这个队列可以用 $K$ 个长度为 $N$ 的括号字符串 $S_1,..., S_k$ 来描述。约翰非常激动地注意到他的牛群中有一些“并发平衡”的范围，其中范围 $i ... j$ 的奶牛只有在每个字符串 $S_1,..., S_k$ 在该范围内都是平衡的情况下才能同时平衡（我们将在下面定义单个括号字符串平衡的含义）。例如，如果 $K = 3$ ，我们有

$S1=)()((())))(())S_1 = \texttt{)()((())))(())}$
$S2=()(()()()((())S_2 = \texttt{()(()()()((())}$
$S3=)))(()()))(())S_3 = \texttt{)))(()()))(())}$

那么范围 $[3...8]$ 是并发平衡的，因为 $S1[3...8]=((()))S_1[3...8] = \texttt{((()))}$ ， $S2[3...8]=()()()S_2[3...8] = \texttt{()()()}$ ， $S3[3...8]=(()())S_3[3...8] = \texttt{(()())}$ 。范围 $[10...13]$ 和 $[11...12]$ 也是并发平衡的。

给定 $K$ 个长度为 $N$ 的括号字符串，帮助约翰计算范围 $(i, j)$ 的数量，使得范围 $i ... j$ 在 $K$ 个字符串中都是并发平衡的。

对于单个括号字符串的“平衡”的定义有几种方式。也许最简单的定义是括号的数量必须相等，并且对于字符串的任何前缀，左括号的数量必须至少和右括号的数量一样多。例如，以下字符串都是平衡的：

$()\texttt{()}$
$(())\texttt{(())}$
$()(()())\texttt{()(()())}$

而这些字符串则不是平衡的：

$)(\texttt{)(}$
$())(\texttt{())(}$
$((())))\texttt{((())))}$

给出 $K$ 个长度为 $N$ 的括号序列，问有多少个区间在 $K$ 个序列中对应的子串均平衡。

我自己机翻的。

题目分析

第一次转换

括号序列的合法可以运用一个转换来判断。

把左括号变成 $1$ ，右括号变成 $- 1$ ，然后求前缀和 $s u m$ ，合法的序列 $[l, r]$ 当且仅当满足 $sum_r=sum_{l-1}$ 和 $suml−1≤sumi(i∈[l,r])sum_{l-1}\leq sum_{i}(i\in[l,r])$ 。

显然第一个条件比较好维护，第二个条件是一个类似于范围的东西，所以先处理第二个条件比较好。

那么我们怎么来找出满足这两个条件的序列呢？

我们可以枚举左端点 $l$ ，然后找 $r$ ，为什么不用 $r$ 呢？我们发现判断与前缀有关与后缀无关。

第二次转换

在考虑满足第二个条件之前，我们还有一个棘手的问题：

我们还要转换一下，我们发现对于 $l$ 可能有多个 $r$ 是合法的，比如 $()()()\texttt{()()()}$ 这种括号序列。

这是怎么回事呢？我们发现 $l$ 匹配了第一个答案 $r_1$ 之后，后面可能会并列其他的括号序列，只有这种情况，这个原因很简单，不证明。

我们发现对于其他的 $r$ ，我们完全可以去掉 $l,r_1]$ 这个部分，由 $r_1+1$ 开始向后匹配，方案数是从 $l$ 匹配的方案减去一（因为你不能向前匹配 $r_1$ ）。

收到启发我们可以求出 $r_1$ 然后从后向前求出 $f_i=f_{r_1+1}+1$ 。

第二个条件

好了，接下来考虑满足第二个条件，我们怎么求出限制范围？

我们发现说起来第一个小于本项的好像维护起来没什么头绪，但是我们仔细观察，我们会发现边界是很有特点的！

因为我们的前缀和每次不是加一就是减一，所以第一个小于本项一定为 $sum_{l-1}-1$ 啊！

那边界不就很好求了？我们考虑维护一个我们后面 $fir_x$ 表示 $sum_i=x$ 合法的一个最小的 $i$ 。

可以倒序去做（这道题很多倒序啊），来维护。

最后就求出了一个边界了，由于这道题字符串不唯一，所以我们要对于 $l$ 取所有字符串中的边界最小值。

第一个条件

第一个条件就很简单了，但是第一条不是一个告诉我们“不可以”的条件，而是让我们“怎么做”的条件，所以和第二个条件的维护略有不同。

我们求出一个最小的 $r$ 使得对于每个字符串 $sum_r=sum_{l-1}$ ，说白了，我们把所有字符串的前缀和摆成二维表格，我们怎么快速判断两列的信息是否相同？

相信“快速判断”“信息相同”应该可以让你快速想到哈希，我们用哈希来存储一列的信息，然后用第二个条件的方式来做。

由于值域比较大，用 map 维护是一个不错的选择，我们就可以找到第一个和当前列完全相同的一列。

注意我们需要和第二个条件结合，如果我们维护出的 $r_1$ 超越了边界，那么一定是无解的，因为我们这个已经是最小解了，所以我们用各种小手段阻止统计即可。

求出 $r_1$ 之后保存即可，后面倒序统计答案用。

时间复杂度懒得算，大概是 $O(nmlog⁡m)\mathcal O(nm\log m)$ 的。

代码实现

注意保存 $i$ 对应的 $r_1$ 是代码的 nxt 数组。

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const LL M = 15;
const LL N = 5e4 + 5;
const LL inf=1e9;
const LL mod=1e9+7;
LL n, m, sum[M][N],ans,fir[N*4],lim[N*4],nxt[N*4],hsh[N],f[N];
char s[M][N];
map<LL,LL>ma;
int main() 
{
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%s", s[i] + 1);
		for (int j = 1; j <= m; j++) {
			if (s[i][j] == '(')sum[i][j] = sum[i][j - 1] + 1;
			else sum[i][j] = sum[i][j - 1] - 1;
			hsh[j]=(hsh[j]*13+sum[i][j])%mod;
		}
	}
	memset(lim,127,sizeof(lim));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(fir,127,sizeof(fir));
		for(int j=m;j>=1;j--)
		{
			fir[sum[i][j]+N]=j;
			lim[j]=min(lim[j],fir[sum[i][j-1]-1+N]);
		}
	}
	for(int i=m;i>=1;i--)
	{
		nxt[i]=ma[hsh[i-1]];
		ma[hsh[i]]=i;
	}
	for(int i=m;i>=1;i--)
	{
		if(nxt[i]&&nxt[i]<lim[i])
		{
			f[i]=f[nxt[i]+1]+1;
			ans+=f[i];
		}
	}
	printf("%lld",ans);
}