Lucas定理——定义、证明、实现、运用

什么是Lucas定理

这是一个有助于分解组合数来求解的定理，适合模数小，数字大的问题。

有质数 $p$，对于$n,m$，如果$n=k_{1}p+b_1,m=k_{2}p+b_2$,有

$$C_n^m\equiv C_{k_1}^{k_2}{C}_{b_1}^{b_2}(\mathrm{mod}p)$$

由此可以分解成较小的问题求解。

证明Lucas定理

这个证明利用了二项式定理的思路，前所未闻，真的很有趣。

根据二项式定理可以得到 $(1+x{)}^n$中$x^m$的系数为$C_n^m$。

我们用这一点作为突破口，对于$(1+x{)}^n$，我们有

$$(1+x{)}^n\equiv (1+x{)}^{k_{1}p+b_1}\equiv (1+x{)}^{k_{1}p}(1+x{)}^{b_1}\equiv ((1+x{)}^p{)}^{k_1}(1+x{)}^{b_1}(\mathrm{mod}p)$$

然后有一个很有意思的东西

$$(1+x{)}^p\equiv 1+x^p(\mathrm{mod}p)$$

为什么呢？将式子拆开后，显然除了第一项与最后一项，其他项是$p$的倍数，自然就会抹掉了。

继续进行推导，我们有
$$(1+x{)}^n\equiv (1+x^p{)}^{k_1}(1+x{)}^{b_1}(\mathrm{mod}p)$$

于是右边的式子拆开可以得到

$$(\sum _{i=0}^{k_1}{C}_{k_1}^i{x}^{pi})(\sum _{j=0}^{b_1}{C}_{b_1}^j{x}^j)(\mathrm{mod}p)$$

我们要求$x^m$的系数，也就是$x^{k_{2}p+b_2}$的系数。

由于$b_1<p$,所以$k_{2}p$只能让${\sum }_{i=0}^{k_1}{C}_{k_1}^i{x}^{pi}$负责了，当$i=k_2$时符合条件，此时系数为$C_{k_1}^{k_2}$。

剩下部分由${\sum }_{j=0}^{b_1}{C}_{b_1}^j{x}^j$负责，当$j=b_2$时符合条件，此时系数为$C_{b_1}^{b_2}$。

因此 $x^m$的系数为$C_{k_1}^{k_2}{C}_{b_1}^{b_2}$，前文已知根据二项式定理$x^m$的系数为$C_n^m$，我们得到

$$C_n^m\equiv C_{k_1}^{k_2}{C}_{b_1}^{b_2}(\mathrm{mod}p)$$

由此，完成了Lucas定理的证明。

Lucas定理求解组合数的C++实现

代码上没什么难点，首先基础的组合数求解还是要有的，也就是我们需要预处理阶乘逆元，然后使用Lucas将组合数拆开再用基础的组合数求解即可。

long long ksm(long long x,long long y)
{
    long long sum=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        {
            sum*=x;
            sum%=mod;
        }
        x*=x;
        x%=mod;
        y>>=1;
    }
    return sum;
}
long long C(long long n,long long m)
{
    if(m>n)return 0;
    if(m==0||n==m)return 1;
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
long long lucas(long long n,long long m)
{
    if(m>n)return 0;
    if(n<mod)return C(n,m);
    return lucas(n/mod,m/mod)*lucas(n%mod,m%mod)%mod;
}
void init()
{    
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=mod-1;i++)
    {
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    }
    inv[mod-1]=ksm(fac[mod-1],mod-2);
    for(int i=mod-2;i>=0;i--)
    {
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    }
}