【左程云算法】时间复杂度(Olog(N^2))和冒泡排序 选择排序

本文深入探讨了排序算法的时间复杂度,包括选择排序、冒泡排序及其优化,以及插入排序。分析了这些算法的步骤、代码实现,并通过实例解释了时间复杂度为O(log(N^2))的原理。此外,还涉及到了异或运算在寻找数组中单数元素的应用,以及二分法在解决局部最小值问题上的应用。

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目录

01 时间复杂度分析

02 选择排序及时间复杂度分析

 2.1 算法步骤

2.2 代码实现 

 03 冒泡排序算法和时间复杂度分析

3.1 算法步骤

3.2 代码实现

 3.3 冒泡排序算法的优化

04 异或^的理解

4.1 寻找数组中出现的单数

4.1.1 题目:一组数只有一个数出现奇数次,其他出现偶数次,找出这个出现奇数次的数 

 4.1.2 一组数只有两个数出现一次,其他出现两次,找出这两个数:

05 插入排序

5.1 算法步骤

5.2 代码示例 

5.2.1 示例1

 5.2.2 示例2

5.3 时间复杂度分析

06 对数器

07 二分法详解及扩展(O(Log))

7.1 在一个有序数组中,找一个数是否存在,复杂度少于(O(N))

7.2 在一个有序数组中找到 >= 某个数最左侧位置

7.3 局部最小值问题


01 时间复杂度分析

常数时间的操作:一个操作如果和数据量没有关系,每次都是固定时间内完成的操作,叫做常数操作。我的理解是这种操作最终的执行就是执行汇编命令,而汇编命令执行花费的时间都是有限的机器时钟时间,可以简单理解为执行一个相加指令,所以常数操作花费的时间是确定有限的,和数量级没关系。

时间复杂度为一个算法流程中,常数操作数量的指标,常用O(读作 big O)来表示。具体来说,在常数操作数量的表达式中,只要有高阶项,不要低阶项,也不要高阶项的系数,剩下的部分如果记为f(N),那么时间复杂度为O(f(N))。

评价一个算法流程的好坏,先看时间复杂度的指标,然后再分析不同数据样本下的实际运行时间,也就是常数项时间。

  • 举例
public class Test {
    public void proffessor1(){
        int a = 0;
        for (int i = 0; i < 1000; i++){
            a = 3 + 4;
            a = 3 - 5;
            a = 3 * 77;
        }
    }

    public void proffessor2(){
        int a = 0;
        for (int i = 0; i < 1000; i++){
            a = 3 ^ 4;
            a = 3 & 5;
            a = 3 | 77;
        }
    }
}

两个代码时间复杂度相同均为O(N),比较时间复杂度需要比较常数项操作需要时间,即实际运行时间

02 选择排序及时间复杂度分析

第一次从0 .................n-1中选择出最小(大)值放在0
第二次从 1 .................n-1中选择出最小(大)值放在1
第三次从 2 .................n-1中选择出最小(大)值放在2
直到选择完: 等差数列(时间复杂度O(N^2), 额外空间复杂度O(1)) 

 2.1 算法步骤

首先在未排序序列中找到最小(大)元素,存放到排序序列的起始位置。

再从剩余未排序元素中继续寻找最小(大)元素,然后放到已排序序列的末尾。

重复第二步,直到所有元素均排序完毕。

2.2 代码实现 

import java.util.Arrays;

public class SelectionSort {
    public static void SelectionSort(int[] arr){
        // 首先判断输入合法性
        if(arr == null || arr.length < 2){
            System.out.println("不需要排序");
            return;
        }
        for(int i = 0; i < arr.length - 1; i ++){
            int minIndex = i;
            for(int j = i + 1; j < arr.length; j++){
                if(arr[minIndex] > arr[j]){
                    minIndex = j;
                }
            }
            swap(arr, i, minIndex);
        }

    }

   public static void swap(int[] arr, int i, int j){
        if(i != j){
            arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
            arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
            arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
        }
    }

    public static void main(String[] args){
        int[] arr = new int[]{3,5,2,-2,7,9,-10};
        SelectionSort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

 03 冒泡排序算法和时间复杂度分析

第一次冒:0 ............. n-1
第二次冒:0 ....... n-2
第三次冒:0 ... n-3
直到冒完,每次比较大的数放在后面(时间复杂度O(N^2), 额外复杂度 O(1))

3.1 算法步骤

比较相邻的元素。如果第一个比第二个大,就交换他们两个。

对每一对相邻元素作同样的工作,从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后,最后的元素会是最大的数。

针对所有的元素重复以上的步骤,除了最后一个。

持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤,直到没有任何一对数字需要比较。

3.2 代码实现

import java.util.Arrays;

public class BubbleSort {
    public static void BubbleSort(int[] arr){
        if(arr.length < 2 || arr == null){
            System.out.println("无需排序");
            return;
        }

        // for(int i = 0; i < arr.lenth - 1; i++){  // 把最大的数排在最后一位
            // for(int j = 0; j < arr.lenth - 1 - i; j++){  // 第二大的数排在倒数第二位

        for(int e = arr.length - 1; e >= 0; e--){
            for(int i = 0 ; i < e; i ++){
                if(arr[i] > arr[i + 1]){
                    swap(arr, i, i +1);
                }
            }
        }
    }

    public static void swap(int[] arr, int i, int j){
        if(i != j){
            arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
            arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
            arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
        }
    }

    public static void main(String[] args){
        int[] arr = new int[]{3,5,2,-2,7,9,-10};
       BubbleSort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

 3.3 冒泡排序算法的优化

如果在某一趟排序过程中没有发现数据的交换, 则可以提前结束排序过程

04 异或^的理解

  • ^ 可理解为不进位相加
  • a^a=0
  • a^0=a
public static void sway(int[] arr,int i,int j){
	if(i!=j){
		//不能两个值指向同一地址
	    arr[i]=arr[i]^arr[j];
	    arr[j]=arr[i]^arr[j];//就是arr[i]^arr[j]^arr[j]就表示arr[i]
	    arr[i]=arr[i]^arr[j];//表示arr[i]^arr[j]^arr[i]^arr[j]^arr[j]就是arr[j]
    }
}

4.1 寻找数组中出现的单数

4.1.1 题目:一组数只有一个数出现奇数次,其他出现偶数次,找出这个出现奇数次的数 

利用 异或的性质

  // 只有一种数出现奇数次,其他都出现偶数次
    public static int printOddTimesNum1(int[] arr){
        int eor = 0;

        for(int num : arr){
            eor = eor ^ num;
        }
        return eor;    // 如果出现基数次,异或结果就是出现奇数次的数
    }
  •  取出一个数最右边1的位置
int mostRightOne = pos & (~pos + 1); 
// mostRightOne值在二进制位上的位次就是pos得最右第一个1的位置

 4.1.2 一组数只有两个数出现一次,其他出现两次,找出这两个数:

// 两种数a 和 b出现奇数次,其他数出现偶数次,找这两个数
    public static void printOddTimesNum2(int[] arr){
        // 先定义一个数对数组中所有数进行异或
        int eor = 0;
        for(int num : arr){
            eor = eor ^ num;
        }
        //此时 eor = a ^ b;
        // eor != 0
        // eor 必然有一个位置上等于1
        // 下一步是找到 这个位置为1的数,取最右侧1
        int rightOne = eor & (~eor + 1); // 取eor最右侧1

        // 定义一个eor’ 异或 最右侧1处 为1 的数,可以得到 a 或 b
        int onlyOne = 0; // eor‘
        for(int num : arr){
            if((rightOne & num) == 0) { // 提取数组中右侧不为1的数,这里不能等于1,因为不是二进制数
               onlyOne = onlyOne ^ num;  // 此时 onlyOne 为啊或 b中的一个数
            }
        }
        System.out.println(onlyOne + " " + (onlyOne ^ eor));

    }

05 插入排序

插入排序的代码实现虽然没有冒泡排序和选择排序那么简单粗暴,但它的原理应该是最容易理解的了,因为只要打过扑克牌的人都应该能够秒懂。插入排序是一种最简单直观的排序算法,它的工作原理是通过构建有序序列,对于未排序数据,在已排序序列中从后向前扫描,找到相应位置并插入。

插入排序和冒泡排序一样,也有一种优化算法,叫做拆半插入

5.1 算法步骤

将第一待排序序列第一个元素看做一个有序序列,把第二个元素到最后一个元素当成是未排序序列。

从头到尾依次扫描未排序序列,将扫描到的每个元素插入有序序列的适当位置。(如果待插入的元素与有序序列中的某个元素相等,则将待插入元素插入到相等元素的后面。)

 

5.2 代码示例 

5.2.1 示例1

import java.util.Arrays;

public class InsertionSort {
    public static void InsertionSort(int[] arr){
        // 首先判断输入合法性
        if(arr == null || arr.length < 2){
            System.out.println("不需要排序");
            return;
        }

        // 0- 0 有序
        // 0 - i 想有序
        for(int i = 1; i < arr.length; i++){ //保证0 - i范围有序

            for(int j = i; j > 0; j--){  // 新牌为 arr[i], 令arr[i]与前面的数比较
                if(arr[j] < arr[j - 1]){
                    swap(arr,j, j-1);
                }
            }
        }

    }

    public static void swap(int[] arr, int i, int j){
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }

    public static void main(String[] args){
        int[] arr = new int[]{3,5,2,-2,7,9,-10};
        InsertionSort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

 5.2.2 示例2

import java.util.Arrays;

public class insertionSort1 {
    public static void main(String[] args){
        int[] arr = new int[]{3,5,52,-2,7,9,10};
        insertSort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }

    public  static void insertSort(int[] arr){
        if(arr == null || arr.length < 2){
            return;
        }
        int i, j;
        for( i = 1; i < arr.length; i++){
            int temp = arr[i];  // 取牌
            for(j = i ; j > 0  && arr[j - 1] > temp; j-- ){
                arr[j] = arr[j - 1]; // 移位
            }
            arr[j] = temp;
        }
    }

}

5.3 时间复杂度分析

时间复杂度与数据排列情况有关,最好情况: T = O(N), 最坏情况: T = O(N^2) 

06 对数器

使用对数器,具体步骤:
1)有一个你想要测的方法a
2)实现一个绝对正确但是复杂度不好的方法b
3)实现一个随机样本产生器
4)实现比对的方法
5)把方法a和方法b比对很多次来验证方法a是否正确。
6)如果有一个样本使得比对出错,打印样本分析是哪个方法出 错
7)当样本数量很多时比对测试依然正确,可以确定方法a已经 正确。

好处:

验证方法对不对
可以很快找到错误case(几千几万case中)
判断贪心对不对
具体实现(例如测试冒泡排序方法是否正确):
想要测试冒泡排序方法a(判断该方法是否正确)
 

想测的方法a

public static void bubbleSort(int[] arr) {
		if (arr == null || arr.length < 2) {
			return;
		}
		for (int e = arr.length - 1; e > 0; e--) {//范围每次缩减1,因为每次都排好了一个数
			for (int i = 0; i < e; i++) {//从头到e进行两两比较
				if (arr[i] > arr[i + 1]) {
					swap(arr, i, i + 1);//(前面比后面大就进行交换)
				}
			}
		}
	}
	public static void swap(int[] arr, int i, int j) {//两两交换
		int tmp = arr[i];
		arr[i] = arr[j];
		arr[j] = tmp;
	}

 一定正确的方法b: 调用API自带方法一定正确单可能复杂度不好

public static void comparator(int[] arr) {
		Arrays.sort(arr);
	}

一个随机数据生成器:产生一个长度随机的数组(可能为正,也可能为负,0) 

public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
		int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
		}
		return arr;
	}

测试 

public static void main(String[] args) {
		int testTime = 500000;//测试次数
		int maxSize = 100;
		int maxValue = 100;
		boolean succeed = true;
		for (int i = 0; i < testTime; i++) {
			int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);//产生随机数组
			int[] arr2 = copyArray(arr1);
			bubbleSort(arr1);//测试的方法
			comparator(arr2);//绝对正确的方法
			if (!isEqual(arr1, arr2)) {
				succeed = false;
				break;
			}
		}
		System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");
	}
	
public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {//实现比对的方法 ,比较两个数组的每个数是否相等
		if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
			return false;
		}
		if (arr1 == null && arr2 == null) {
			return true;
		}
		if (arr1.length != arr2.length) {
			return false;
		}
		for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
			if (arr1[i] != arr2[i]) {
				return false;
			}
		}
		return true;
	}

07 二分法详解及扩展(O(Log))

7.1 在一个有序数组中,找一个数是否存在,复杂度少于(O(N))

public class SearchTest {
    public static int search(int[] arr, int num) throws Exception {
        int left = 0;
        int right = arr.length - 1;
        int center;

        if(num < arr[left] || num > arr[right] || arr == null){
            return -1;  // -1表示没有找到
        }

        while(left <= right){
            center = (left + right) / 2 ;// 计算中间元素坐标

            if(arr[center] == num){
                return center;
            }else if(arr[center] < num){
                left = center + 1;
            }else{
                right = center - 1; // 调整右边界
            }
        }
        return -1;
    }

    public static void main(String[] args){
        int[] arr = new int[]{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
     
        System.out.println(search(arr, 12));
       
    }

}

7.2 在一个有序数组中找到 >= 某个数最左侧位置

举例: arr[1,2,2,3,3,4,5,5,5,5,5,5,6,6,6,7]

找到大于等于 5,最左侧位置: 返回 Index = 6 

public class SearchTest {
    public static int searchLeft(int[] arr, int num) {
        int left = 0;
        int right = arr.length - 1;
        int center = -1;

        if (num < arr[left] || num > arr[right] || arr == null) {
            return -1;  // -1表示没有找到
        }

        while (left <= right) {
            center = (left + right) / 2;// 计算中间元素坐标

            if (arr[center] >= num) {  // 往左缩小位置
                right = center - 1;
            } else if (arr[center] < num) {  // 往右缩小位置
                left = center + 1;
            } else {
                return center;
            }
        }
        return center;
}


    public static void main(String[] args){
        int[] arr = new int[]{1,2,2,3,3,4,5,5,5,5,5,5,6,6,6,7};
            System.out.println(searchLeft(arr, 5));
    }

}

7.3 局部最小值问题

给定一个不包含相同元素的整数数组,求一个局部最小值。

题解

1)数组第一个元素比第二个元素小,即为局部最小值。

2)数组最后一个元素比它前一个元素小,即为局部最小值。

3)若不满足,那么局部最小值必可在数组首尾两元素之间的某个位置取得。此时可以采用二分法思想,看中间位置是否符合条件,不符合就分成两部分,从不符合的那一边继续操作。

public class LocalMin {
    public static int LocalMinNum(int[] arr){
        int left = 0;
        int right = arr.length - 1;
        int center = -1;
        if(arr == null || arr.length <= 1){ // 数组为空或只有一个元素 则返回-1
            return -1;
        }
        if(arr[left] < arr[left + 1]){
            return left;
        }
        if(arr[right] < arr[right - 1]){
            return right;
        }

        // 如果都不满足,则中间移送有一个数满足 arr[i] < arr[i - 1] 且 arr[i] < arr[i + 1]
        // 利用二分法
        while(left <= right){
            center = (left + right) / 2;
            if(arr[center] > arr[center - 1]){ // 这种情况向左缩小范围
                right = center - 1;
            }else if(arr[center] > arr[center + 1] ){ // 向右缩小范围
                left = center + 1;
            }else{
                return center;
            }
        }
        return -1; //中间必然存在一个数满足局部最小值,所以可以直接return center
    }

    public static void main(String[] args) {
        //测试
        int[] arr = {10,6,9,50,8,3,20};
        System.out.println(LocalMinNum(arr));
    }
}

在使用二分法时,要明确向左向右缩小范围的条件!!!

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