首师大附中集训第十三天综合模测

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NTT

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探讨了在Bzeroth大陆上，精灵王国如何通过信仰传播和最优路径选择解决实际问题。介绍了信仰圣光问题中生成函数和分治NTT优化的算法，以及灵大会议中树剖和二分查找在寻找最优聚集点的应用。

正题

第一题：信仰圣光

精灵王国的每一名精灵都曾是圣光的信徒，在圣光的沐浴下歌颂祈福。然而百年前的那场浩劫摧毁了 Bzeroth 大陆与神界的通道，同时将大陆打碎分散到了不同的次元里。百年后神界终于再次听到了精灵的祷告，找回了 Bzeroth大陆所在的次元。经过了近百年的休养生息，精灵们终于在这片被抛弃的土地上重新建造了自己的文明。现在的 Bzeroth大陆被分成了 N块区域，这 N块区域彼此之间不能直接连接。神界集众神之力为精灵们修建了 N 条传送通道，第 i 条传送通道只能从 i 号区域传送到 P[i]号区域，保证所有的 P[i]互不相同。诸神决定向 Bzeroth大陆传送 K名传教士，重新发展 Bzeroth大陆的信仰。这些传教士可以通过传送通道四处行走，沿途传播圣光的教义。诸神想知道如果他们随机将 K名传教士传送到 Bzeroth 大陆 N 个区域中不同的 K个区域，这 K名传教士重新让 Bzeroth大陆上每个区域都能蒙受圣光教化的概率是多少。由于实数可能会存在的精度问题，如果概率为 p / q ，请输出 p * q-1在模 998244353意义下的结果，可以证明这样的结果是唯一的。

这题还是比较好想的，可以把每一个联通块处理出来。

对于每一个联通块构造生成函数 $F(x)=\sum_{i>=1}C(size,i)x^i$ 。

含义就是将i个传教士放进一个联通块的方案数，然后将他们对应的生成函数乘起来，第k项即是答案。

分治NTT优化即可。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N=160010;
int T;
int n,k,tot,t=0;
int next[N],a[N];
bool vis[N];
int where[300010],sum[N];
long long fac[N],inv[N];
long long ans[300010],p[300010];
long long last[20][300010];
long long limit,l;
const long long mod=998244353;

long long C(int x,int y){
	return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}

long long ksm(long long x,long long t){
	long long tot=1;
	while(t){
		if(t&1) (tot*=x)%=mod;
		(x*=x)%=mod;
		t/=2;
	}
	return tot;
}

int dfs(int x){
	vis[x]=true;
	if(vis[next[x]]==true) return 1;
	return dfs(next[x])+1;
}

void NTT(long long *now,int opt){
	for(int i=0;i<limit;i++) if(i<where[i]) swap(now[i],now[where[i]]);
	long long wn,w,a,b;
	for(int l=2;l<=limit;l<<=1){
		if(opt==1) wn=ksm(3,(mod-1)/l);
		else wn=ksm(3,mod-1-(mod-1)/l);
		for(int i=0;i<limit;i+=l){
			w=1;
			for(int x=i,y=i+l/2;y<i+l;x++,y++,(w*=wn)%=mod){
				a=now[x],b=w*now[y]%mod;
				now[x]=(a+b)%mod;
				now[y]=(a+mod-b)%mod;
			}
		}
	}
}

void multi(long long *ans,long long *p,int x,int y){
	limit=1,l=0;
	while(limit<=x+y) limit*=2,l++;
	for(int i=0;i<limit;i++) where[i]=(where[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=x+1;i<limit;i++) ans[i]=0;
	for(int i=y+1;i<limit;i++) p[i]=0;
	NTT(ans,1);NTT(p,1);
	for(int i=0;i<limit;i++) (ans[i]*=p[i])%=mod;
	long long div=ksm(limit,mod-2);
	NTT(ans,-1);for(int i=0;i<limit;i++) (ans[i]*=div)%=mod;
}

void cdq(int l,int r,int dep){
	if(l==r){
		ans[0]=0;
		for(int i=1;i<=a[l];i++) ans[i]=C(a[l],i);
		return ;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	cdq(l,mid,dep+1);
	for(int i=0;i<=sum[mid]-sum[l-1];i++) last[dep][i]=ans[i];
	cdq(mid+1,r,dep+1);
	multi(ans,last[dep],sum[r]-sum[mid],sum[mid]-sum[l-1]);
}

int main(){
	freopen("bishop.in","r",stdin);
	freopen("bishop.out","w",stdout);
	scanf("%d",&T);
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=N-10;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[N-10]=ksm(fac[N-10],mod-2);for(int i=N-11;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	while(T--){
		scanf("%d %d",&n,&k);memset(vis,false,sizeof(vis));
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&next[i]);
		tot=0;for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]) a[++tot]=dfs(i),sum[tot]=sum[tot-1]+a[tot];
		cdq(1,tot,1);printf("%lld\n",ans[k]*ksm(C(n,k),mod-2)%mod);
	}
}

第二题：装饰地板

精灵女王最近正在为皇宫地板的装饰问题苦恼。皇宫的地板可以看作一个行数为 M、列数为 N 的方格图，现在她有 $s1+s2$ 种不同的地砖，其中 S1种地砖是横着的 $1*2$ 型地砖，S2种地砖是竖着的 $2*1$ 型地砖。精灵女王想用这些地砖把她的地板铺满，要求地砖之间不能有重叠，她想知道将 $M*N$ 的地板铺满的方案数，记为 $F(N)$ 。例如当 $M = 2,N = 1,S1 = 2,S2 = 1$ 时只有用 1个竖着的 $2*1$ 型地砖这一种方法，所以 $F(1)=1$ 。
由于皇宫太大了，精灵女王已经记不清 N 的具体数值了，只记得 N 在范围 $[L,R]$ 之
间，她想请你求出 $F(L)+F(L+2)+...+F(R)$ 的结果对 998244353 取模的结果。 $len_L,len_R<=2501,m<=8$

len表示的是位数。

一开始以为每一种地砖都只能用一遍，所以连暴力都没打出来。

暴力还是挺好想的，直接轮廓线Dp转移。很容易就可以发现这其实是一个递推的形式，而且m也不大，所以就可以直接暴力用矩阵快速幂转移。时间复杂度就是 $O((2^m)^3log_2 n)$ ，可以想到很多状态其实是无用的，经过搜索可以发现，有用的状态其实只有 $k<=71$ 种，那么这样就是 $O(k^3logn)$ ，可以通过大部分的数据测试点。

想到这，可以想到这个R太大了，不方便我们计算。用特征多项式优化即可。不懂特征多项式的可以看我的blog

因为求的是一个区间的和，我们可以在矩阵里面多开一维记录一下前面的答案，最后用 $A^{R+1}-A^L$ 即可。

这份代码足足肛了6个小时。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

char c[6010];
int l[6010],r[6010];
int l1,l2,m;
long long s1,s2;
int op[256][256];
long long turn[256][256],p[256][256],ty[256][256],we[256][256];
long long f[256],a[256];
const long long mod=998244353;
int dfn[256],t=0;

long long ksm(long long x,long long t){
	long long tot=1;
	while(t){
		if(t&1) (tot*=x)%=mod;
		(x*=x)%=mod;
		t/=2;
	}
	return tot;
}

void dfs(int x,int y,int now,long long coef){
	if(now==m+1){
		turn[x][y]=coef;
		op[x][y]=1;
		return ;
	}
	if(y&(1<<(now-1))) dfs(x,y^(1<<(now-1)),now+1,coef);
	else{
		dfs(x,y|(1<<(now-1)),now+1,coef*s1%mod);
		if(now!=m && !(y&(1<<now))) dfs(x,y|(1<<now),now+1,coef*s2%mod);
	}
}

long long delta(){
	long long ans=1;
	for(int i=0;i<=t;i++){
		int k;for(k=i;k<=t;k++) if(ty[k][i]) break;
		if(k!=i) swap(ty[i],ty[k]),ans=mod-ans;
		long long inv=ksm(ty[i][i],mod-2);
		for(int j=i+1;j<=t;j++){
			long long temp=inv*ty[j][i]%mod;
			for(int k=i;k<=t;k++) (ty[j][k]+=mod-temp*ty[i][k]%mod)%=mod;
		}
		(ans*=ty[i][i])%=mod;
	}
	return ans;
}

void get_Point(){
	for(int x=0;x<=t+1;x++){
		for(int i=0;i<=t;i++) for(int j=0;j<=t;j++) ty[i][j]=(p[i][j]+mod-((i==j)*x))%mod;
		a[x]=delta();
	}
}

void get_f(){
	get_Point();
	long long yu[256],fac[256],temp[256],op[256];memset(yu,0,sizeof(yu));yu[0]=1;
	for(int i=0;i<=t+1;i++) for(int j=i;j>=0;j--) (yu[j+1]+=yu[j])%=mod,(yu[j]*=mod-i)%=mod;
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=t+1;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	for(int i=0;i<=t+1;i++){
		for(int j=t+2;j>=0;j--) op[j]=yu[j];
		for(int j=t+2;j>=1;j--){
			temp[j-1]=op[j];
			(op[j-1]+=op[j]*i%mod)%=mod;
		}
		long long inv=ksm(fac[i]*fac[t+1-i]%mod,mod-2);
		if((t+1-i)&1) inv=mod-inv;(inv*=a[i])%=mod;
		for(int j=0;j<=t+1;j++)
			(f[j]+=temp[j]*inv%mod)%=mod; 
	}
}

void multi(long long*a,long long*b){
	long long q[256];memset(q,0,sizeof(q));
	for(int i=0;i<=t;i++)
		for(int j=0;j<=t;j++)
			(q[i+j]+=a[i]*b[j]%mod)%=mod;
	for(int i=2*t;i>=t+1;i--){
		long long temp=ksm(f[t+1],mod-2)*q[i]%mod;
		for(int j=i;j>=i-t-1;j--) (q[j]+=mod-f[t+1-(i-j)]*temp%mod)%=mod;
	}
	for(int i=0;i<=t;i++) a[i]=q[i];
}

void get_ans(int*w,int len,long long *ans){
	long long p[256];ans[0]=1;
	memset(p,0,sizeof(p));p[1]=1;
	while(len){
		if(w[1]&1) multi(ans,p);
		multi(p,p);
		int tot=0;
		for(int i=len;i>=1;i--) tot=tot*10+w[i],w[i]=tot/2,tot%=2;
		while(w[len]==0 && len) len--;
	}
	printf("**");
}

long long ans1[256],ans2[256];

int main(){
	scanf("%s",c+1);l2=strlen(c+1);
	for(int i=1;i<=l2;i++) l[i]=c[l2-i+1]-'0';
	scanf("%s",c+1);l1=strlen(c+1);
	for(int i=1;i<=l1;i++) r[i]=c[l1-i+1]-'0';
	r[1]++;int now=1;while(r[now]>9) r[now]-=10,r[now+1]++,now++;
	if(r[l1+1]) l1++; 
	scanf("%d %lld %lld",&m,&s1,&s2);
	for(int i=0;i<(1<<m);i++) dfs(i,i,1,1);
	for(int k=0;k<(1<<m);k++)
		for(int i=0;i<(1<<m);i++)
			for(int j=0;j<(1<<m);j++)
				op[i][j]|=op[i][k]&op[k][j];
	for(int i=1;i<(1<<m);i++) if(op[0][i] && op[i][0]) dfn[i]=++t;
	for(int i=0;i<(1<<m);i++) if(dfn[i] || i==0)
		for(int j=0;j<(1<<m);j++) if(dfn[j] || j==0) p[dfn[i]][dfn[j]]=turn[i][j];
	t++;p[0][t]=1;p[t][t]=1;
	get_f();
	get_ans(r,l1,ans1);get_ans(l,l2,ans2);
	for(int i=0;i<=t;i++) ans1[i]=(ans1[i]+mod-ans2[i])%mod;
	long long ans=0;memset(we,0,sizeof(we));
	long long temp[t+1][t+1];
	for(int i=0;i<=t;i++) we[i][i]=1;
	for(int q=0;q<=t;q++){
		(ans+=we[0][t]*ans1[q]%mod)%=mod;
		for(int i=0;i<=t;i++)
			for(int j=0;j<=t;j++){
				temp[i][j]=0;	
				for(int k=0;k<=t;k++)
					(temp[i][j]+=we[i][k]*p[k][j]%mod)%=mod;
			}
		for(int i=0;i<=t;i++) for(int j=0;j<=t;j++) we[i][j]=temp[i][j]; 
	}
	printf("%lld\n",ans);
}

第三题：灵大会议

坐落在 Bzeroth 大陆上第一大洲的精灵王国每年最大的一件盛事就是全国精灵代表大会，每年的十月都会有许多来自不同城市的精灵代表聚集在一起共商国是。精灵王国有 N座城市，第 i座城市有 A[i]个精灵代表。这 N座城市由 N - 1条双向道路连接，形成一棵无根树结构。其中第 i条道路连接了城市 u[i]和城市 v[i]，距离为 w[i]。每届全国精灵代表大会将会邀请从城市 x 到城市 y 唯一简单路径上的所有城市里的精灵代表聚集在一起开会。精灵女王想在 N 座城市中选出 1 座城市作为聚集点，再通知被邀请的代表全部聚集到该城市开会。根据精灵王国的宪法，精灵们出席灵大会议的路费将由王国财政部报销 50%（相当于只报销单程路费），而每个精灵行走 1 单位的距离都需要花费 1 单位的代价，所以精灵女王找到了精灵王国最好的工程师——你，每次选择最优的聚集点来使得该届全国精灵代表大会王国财政部的支出最少。另外，由于一些突发情况，王国城市里的代表数目可能会发生变化，你需要考虑这些变化带来的影响。

这题很简单，目的就是要找出一条链上，以人数为关键字的中间位置，这个东西可以通过树剖维护链上的人数来实现，每次先考虑lca是不是中心点，然后再考虑 $x\to lca,y\to lca$ 这两条路径中哪一条的总人数超过（这条链上的总人数+1）/ 2。然后再不断树剖+二分就可以找到那个点，时间复杂度还是 $O(n\log_2^2 n)$

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ls now<<1
#define rs now<<1|1
using namespace std;

const int N=160010;
int n,q;
struct edge{
	int y,next,c;
}s[N<<1];
int dfn=0,len=0;
int a[N],tot[N],son[N],dep[N],first[N],image[N],fact[N],f[N][20],top[N];
long long summ[N<<2],suma[N<<2],dis[N];

void ins(int x,int y,int c){
	s[++len]=(edge){y,first[x],c};first[x]=len;
	s[++len]=(edge){x,first[y],c};first[y]=len;
}

void dfs(int x){
	tot[x]=1;son[x]=0;
	for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next){
		int y=s[i].y;
		if(y==f[x][0]) continue;
		dis[y]=dis[x]+s[i].c;f[y][0]=x;dep[y]=dep[x]+1;
		for(int k=1;k<=19;k++) f[y][k]=f[f[y][k-1]][k-1];
		dfs(y);
		tot[x]+=tot[y];
		if(tot[y]>tot[son[x]]) son[x]=y;
	}
}

void dfs_2(int x,int tp){
	image[x]=++dfn;fact[dfn]=x;top[x]=tp;
	if(son[x]) dfs_2(son[x],tp);
	for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next)
		if(s[i].y!=f[x][0] && s[i].y!=son[x]) dfs_2(s[i].y,s[i].y);
}

void change(int now,int x,int t,long long T,int l,int r){
	if(l==r){
		suma[now]=t,summ[now]=T;
		return ;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	if(x<=mid) change(ls,x,t,T,l,mid);
	else change(rs,x,t,T,mid+1,r);
	suma[now]=suma[ls]+suma[rs];
	summ[now]=summ[ls]+summ[rs];
}

int Lca(int x,int y){
	if(dep[y]<dep[x]) swap(x,y);
	for(int i=19;i>=0;i--) if(dep[f[y][i]]>=dep[x]) y=f[y][i];
	if(x==y) return x;
	for(int i=19;i>=0;i--) if(f[y][i]!=f[x][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}

long long get_tot(int now,long long *q,int x,int y,int l,int r){
	if(x==l && y==r) return q[now];
	int mid=(l+r)/2;
	if(y<=mid) return get_tot(ls,q,x,y,l,mid);
	else if(mid<x) return get_tot(rs,q,x,y,mid+1,r);
	else return get_tot(ls,q,x,mid,l,mid)+get_tot(rs,q,mid+1,y,mid+1,r);
}

long long get_list(int x,int tar,long long *q){
	long long ans=0;
	while(dep[top[x]]>=dep[tar]){
		ans+=get_tot(1,q,image[top[x]],image[x],1,n);
		x=f[top[x]][0];
	}
	if(dep[x]>=dep[tar]) ans+=get_tot(1,q,image[tar],image[x],1,n);
	return ans;
}

int get_ans(int x,int tar,long long c){
	long long tot=0,temp;
	while(dep[top[x]]>=dep[tar]){
		temp=get_tot(1,suma,image[top[x]],image[x],1,n);
		if(tot+temp>=c) break;
		tot+=temp;x=f[top[x]][0];
	}
	c-=tot;
	int l=image[top[x]],r=image[x],ans=0;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)/2;
		if(get_tot(1,suma,mid,image[x],1,n)>=c) l=(ans=mid)+1;
		else r=mid-1;
	}
	return fact[ans];
}

void solve(int x,int y){
	int lca=Lca(x,y);
	long long p1=get_list(x,lca,suma),p2=get_list(y,lca,suma);
	long long mid=(p1+p2-a[lca]+1)/2;
	if(p1>=mid && p2>=mid){
		printf("%lld\n",get_list(x,lca,summ)+get_list(y,lca,summ)-(p1+p2)*dis[lca]);
		return ;
	}
	if(p2>=mid) swap(x,y),swap(p1,p2);
	int op=get_ans(x,lca,mid);
	long long ans=get_list(x,op,summ)-dis[op]*get_list(x,op,suma);//x->op
	ans+=get_list(y,lca,summ)+p2*dis[op]-2*p2*dis[lca];//(y-lca)->op
	if(op!=lca) ans+=dis[op]*get_list(f[op][0],lca,suma)-get_list(f[op][0],lca,summ)-(dis[op]-dis[lca])*a[lca];
	printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
	freopen("conference.in","r",stdin);
	freopen("conference.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	int opt,x,y,c;
	for(int i=1;i<n;i++) scanf("%d %d %d",&x,&y,&c),ins(x,y,c);
	dep[1]=1;dfs(1);dfs_2(1,1);
	for(int i=1;i<=n;i++) change(1,image[i],a[i],1ll*a[i]*dis[i],1,n);
	scanf("%d",&q);
	while(q--){
		scanf("%d %d %d",&opt,&x,&y);
		if(opt==1) solve(x,y);
		else a[x]=y,change(1,image[x],a[x],1ll*a[x]*dis[x],1,n);	
	}
}