苏州省选冲刺第二天

正题

      现在每天都是三步走吧，早上考5个小时，午饭，下午讲题加补题，晚饭，讲专题。

      这两天讲了一些奇技淫巧（数论和多项式，而且是很冷门那种。

      早上考了三道题，其中有两道题不错（第3题莫比乌斯反演加四元环计数我也不会，分享一下：

      第一题：

      已知，n个变量，m个方程组为这样的形式，每次合并指定的方程组，形成新的方程组，共m-1次，每次询问合并后的新方程组是否有公共解。

      1.很明显暴力啊，直接枚举每个x的取值，就可以了。

      2.聪明一点的发现，每次合并相当于解决一个2-sat问题，完美解决。

      3.还是不够优秀，从旧方程组向新方程组连边，形成了一棵树。接着如果一个新方程组可行，那么这个新方程组所代表的子树肯定可行，相反，如果它不可行，它的父亲以及祖先肯定不可行。

       那么我们就把这棵树建出来，然后轻重链剖分一下，对于每一条链二分一下可行和不可行的断点位置。总时间复杂度就是两个log的。

       但是这样的话就要求离线（寻求在线做法。

      第二题：

      给出n个奶酪的体积和质量，要求最多切两刀，把它们分为体积和质量都相等的两份。

      连暴力都不知道怎么打？？？

     1.直接讲正解，因为这题暴力不存在，枚举两刀的位置肯定是不可行的。

     2.有同学（zhf神犇 ，把每一块奶酪的体积和质量看作一个向量，那么只要把所有的向量分成两部分。。。。。可惜我后面听不清，老师说这种方法细节太多，不优美，就没有深入了解。

     3.其实可以把每个奶酪看成是平面上的许多个矩阵，长为体积，宽为密度，把他们按宽从小到大排序。那么我们的目的，就是要在这一排矩阵中，找到长为总的一半，面积为总的一半的一堆矩形。考虑尺取，相当于在其中选一个长为总的一半的区间，所对应的面积就是要求的，又因为这样的面积肯定是 在按照宽排序后 由小变大的，所以肯定在中间存在答案。二分位置就可以做到两个log。