学习笔记第五节：莫比乌斯反演

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莫比乌斯反演

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本文详细介绍了莫比乌斯反演的概念及其在数论中的应用。通过具体实例展示了如何利用莫比乌斯函数进行反演计算，并提供了完整的代码实现。

正题

现在在这里再来讲述一遍莫比乌斯反演。

莫比乌斯反演基于一条公式 $\sum_{d\mid n} \mu(d) =[n=1]$ 。

不懂的小伙伴先去找数论函数的介绍看看。

假如现在要求 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=1]$ , $n<=m<=10^{7}$ .~~开到更大可以用杜教筛来做~~。

那么我们可以把后面的 [gcd(i,j)=1] ，换成 $\sum_{d\mid gcd(i,j)} \mu(d)$

就变成了

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m\sum_{d\mid gcd(i,j)}\mu(d) \\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m\sum_{d\mid i\ \Lambda \ d\mid j}\mu(d) \\=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\ floor(n/i)\ floor(m/i)$

那么我们又可以预处理 $\mu(d)$ 的前缀和，又可以对后面的东西进行整除分块。

时间就是 $O(\sqrt n)$ 了。（认为n,m同阶）。

程序中就是直接按照定义欧拉筛出 mu(d) ，然后做一遍前缀和，后面整除分块本人喜欢这种写法。

mu[1]=1;
for(int i=2;i<=maxn;i++){
	if(!vis[i]) {p[++p[0]]=i;mu[i]=-1;}
	for(int j=1;j<=p[0] && (temp=i*p[j])<maxn;j++){
		vis[temp]=true;
		if(i%p[j]==0) break;
		mu[temp]=-mu[i];
	}
	mu[i]+=mu[i-1];
}
scanf("%d",&T);
while(T--){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	l=1;
	while(l<=n){
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		ans+=(long long)(n/l)*(m/l)*(mu[r]-mu[l-1]);
		l=r+1;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}

其实莫比乌斯反演是这样的：

有 h=f*1 ，*为狄利克雷卷积。