ST03Day4 字符串基础

最新推荐文章于 2023-12-21 08:18:43 发布

原创最新推荐文章于 2023-12-21 08:18:43 发布 · 271 阅读

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本文深入讲解字符串算法，包括Hash、KMP、Ex-KMP（Z-Algorithm）、字典树、AC自动机等，探讨Hash的高级应用及Ex-KMP优化技巧，通过实例解析周期性引理，提供算法性能对比。

正题

字符串基础就有：Hash，KMP，Ex-KMP（Z-Algorithm），字典树，AC自动机，fail树。

这里只更新关于Hash的骚操作和Ex-KMP，因为其他都没有什么基础好说的。

对于基的取值，我们直接看看我们的字符集大概是多少，取足够大就可以，p要取较大的一个质数，否则就可以中国剩余定理将其拆开变成多个同余式，降低强度。（不过按理说去mu(p)不为0的倒不影响

比较两个不同串，就有1/p的概率失败，期望比较p次就会出现错误，所以我们可以直接使用比较次数/p来得出我们错误的概率。

如果比较n^2次或者以上，我们可以直接使用双哈希（四哈希）会更稳妥一些。

不建议使用自然溢出哈希，有通用的hack方法。

根据生日悖论，我们只需要O(根号域大小)的数字，我们就可以有50%的几率撞，这个概率是十分恐怖的，所以我们要多模数来保证域足够大。

讲了Hash就要讲这个，否则查是否有重复的时候只能用很慢的map，set，unorder_set。怎么做呢？我们将模数取小一点，然后开多个链表，每次插入的时候就找一找是否存在过，注意这里为了减小常数直接打指针，否则使用vector等容器会得不偿失。

时间十分显然了。

如果字符串s有两个period p和q，并且p+q<=|s|，那么gcd(p,q)也是s的周期。证明：设d=q-p，则由i-p>0或i+q<=|s|均可推出s[i]=s[i+d]。辗转相减即得结论。

相信很多人都做过这一题，直接kmp就可以了，找到i%(i-next[i])==0那么就存在否则就不存在。

证明还是需要思考一下。考虑如果最小周期a不是整周期，假设现在存在一个不等于该串的整周期b，也就是说i%a!=0,i%b=0。那么可以知道因为a是最小的，就可以得到b%a!=0，那么根据Weak Periodcity Lemma就可以得到一个更小的周期，矛盾，所以得证。

考虑如何优化kmp的往上跳过程，这里不能像在序列一样用“上一个与i不同后继的Border”来将跳的过程优化到log，因为这里是动态加点，形成了一棵树，如果Border已经<n/2那么就直接跳，否则我们可以证明周期p一定在跳fail的时候不断被跳(n/|p|)-1次。

如何证明，假设存在这(n/|p|)-1次中有一次不是用p来跳，那么就说明在其中存在一个n串的Border不是n-p*k，然后转化为周期，就可以使用Weak Periodcity Lemma得到一个更小的周期。