Construction of a tree，agc029f，结论推导+Dinic

最新推荐文章于 2022-02-09 22:20:17 发布

原创最新推荐文章于 2022-02-09 22:20:17 发布 · 449 阅读

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正题

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这题好难，首先考虑转化为一棵有根树，令1为根，想办法从每个集合中选出一些边 $(fa_{x_i},x_i)$ ，按照一定顺序加入，使得每一个xi只被选一次，并且按照一定顺序加入，使得 $fa_{x_i}$ 已经在树里面就可以了。

首先要满足第一个条件，xi肯定不能为1，所以我们二分图匹配中右边放得点只能为[2,n]。然后向自己集合内的元素连边，若找到了一组匹配，考虑直接用队列加入就可以了，一个xi可以加入树中当且仅当集合内有元素已经在树里面，那么就直接认它为fa。

如果最后并不能把所有元素加进去，说明存在一个时刻，使得未加入树内的集合中不包含已经在树中的元素。

考虑另一种匹配可不可能构成一种有解的方案，另一种匹配只可能交换几个xi，考虑交换的xi是在前面已经在树内的集合之间的，显然不可能产生有解的方案，因为前面的已经构造出一棵树了，所以没有影响，如果在后面没有加进树中的集合之间呢？显然也不会产生有解的方案，因为后面集合的并集中不包含前面树内的任一元素，而前后两种集合之间又不能交换xi，所以我们只需要直到任一一种匹配不可行，那么其他匹配都是不可行的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100010;
struct edge{
	int y,next,c;
}s[N<<3];
struct op{
	int x,y;
}we[N];
int first[N<<1],len=0,n,m,bg,nd,c[N<<1],d[N<<1],las[N];
int lis[N<<1],st,ed;
vector<int> P[N];

void ins(int x,int y){
	s[len++]=(edge){y,first[x],1};first[x]=len-1;
	s[len++]=(edge){x,first[y],0};first[y]=len-1;
}

bool bfs(){
	lis[st=1]=bg;ed=2;
	memset(d,0,sizeof(d));d[0]=1;
	while(st!=ed){
		int x=lis[st];st++;
		for(int i=first[x];i!=-1;i=s[i].next) if(!d[s[i].y] && s[i].c) 
			d[s[i].y]=d[x]+1,lis[ed++]=s[i].y;
	}
	return d[nd];
}

int dfs(int x,int t){
	if(x==nd) return t;
	int tot=0,my;
	for(int i=first[x];i!=-1;i=s[i].next) if(d[s[i].y]==d[x]+1 && s[i].c){
		my=dfs(s[i].y,min(t-tot,s[i].c));tot+=my;
		if(my && x>=1 && x<=n-1 && s[i].y) c[x]=s[i].y-n+2;
		s[i].c-=my;s[i^1].c+=my;
		if(t==tot) break;
	}
	if(!tot) d[x]=0;
	return tot;
}

int Dinic(){
	int dx,ans=0;
	while(bfs()){
		dx=dfs(bg,1e9);
		while(dx) ans+=dx,dx=dfs(bg,1e9);
	}
	return ans;
}

int main(){
	scanf("%d",&n);bg=0,nd=2*n-1;
	int x;
	memset(first,-1,sizeof(first));
	for(int i=1;i<n;i++){
		ins(bg,i);
		ins(i+n-1,nd);
		scanf("%d",&m);
		while(m--){
			scanf("%d",&x);
			P[x].push_back(i);
			if(x-1) ins(i,n-1+x-1);
		}
	}
	if(Dinic()==n-1){
		st=ed=1;
		for(int i=0;i<P[1].size();i++) lis[ed++]=P[1][i],las[P[1][i]]=1;
		while(st!=ed){
			int x=lis[st];st++;
			we[x]=(op){las[x],c[x]};
			for(int i=0;i<P[c[x]].size();i++) if(!las[P[c[x]][i]]) lis[ed++]=P[c[x]][i],las[P[c[x]][i]]=c[x];
		}
		if(ed==n) for(int i=1;i<n;i++) printf("%d %d\n",we[i].x,we[i].y);
		else printf("-1\n");
	}
	else printf("-1\n");
}