集合求交，51nod1818，根号分治

最新推荐文章于 2022-01-20 16:46:34 发布

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本文介绍了一种利用根号分治策略优化数据结构的方法，特别适用于元素数量不超过M的情况。通过维护线段树和树状数组，实现对特殊集合的高效查询和更新，降低了时间复杂度。

正题

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这题发现总的元素数量不超过M，所以我们可以对一个集合内的元素数量来根号分治。

当询问的 $|S_p|<T$ 时，暴力维护每一个权值以位置为关键字的线段树（动态开点），这部分的时间复杂度是 $O(m \log_2 n+mT\log_2 n )$ 。

当询问的 $|S_p|>=T$ 时，我们对于这些特殊的集合维护一个以位置为关键字的树状数组，每个位置的权值就是该集合与特殊集合的交集，更新显然，每次查询直接差分前缀和即可。这部分的时间复杂度为 $O(\frac{m}{T}m\log_2n+m\log_2n)$ 。

这两个都是最坏时间复杂度，当 $T=\sqrt m$ 时，有最小时间复杂度。

但是为了避免麻烦，我们可以直接设为 $T=\left \lceil \frac{m}{1000} \right \rceil$ 。就保证了特殊集合最多只有1000个。

发现空间上还是爆炸，直接考虑把空间开小一点，或者选择vector，因为实际上的特殊集合并没有那么多。

反正我空间是卡过去的，时间上没有问题。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;

const int N=40010,M=200010,A=1000000;
int n,m,bound,tot,num;
vector<int> S[N],V[A+1];
bool tf[501][A+1];
int root[A+1],id[N];
int t[M*16],ls[M*16],rs[M*16];
int sum[501][N];

void insert(int&now,int d,int l,int r){
	if(now==0) now=++num;
	t[now]++;
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)/2;
	if(d<=mid) insert(ls[now],d,l,mid);
	else insert(rs[now],d,mid+1,r);
}

void add(int*now,int x,int t){
	while(x<=n){
		now[x]+=t;
		x+=lowbit(x);
	}
	return ;
}

int get_tot(int now,int x,int y,int l,int r){
	if(x==l && y==r) return t[now];
	int mid=(l+r)/2;
	if(y<=mid) return get_tot(ls[now],x,y,l,mid);
	else if(mid<x) return get_tot(rs[now],x,y,mid+1,r);
	else return get_tot(ls[now],x,mid,l,mid)+get_tot(rs[now],mid+1,y,mid+1,r);
}

int get_sum(int*now,int x){
	long long tot=0;
	while(x){
		tot+=now[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return tot;
}

int main(){
	char c[2];
	int x,y,l;
	scanf("%d %d",&n,&m);bound=ceil(m/1000.0);
	while(m--){
		scanf("%s %d %d",c,&x,&y);
		if(c[0]=='I'){
			S[x].push_back(y);
			if(S[x].size()==bound){
				id[x]=++tot;
				for(int j=0;j<S[x].size();j++) tf[id[x]][S[x][j]]=true;
				for(int j=1;j<=n;j++) {
					int t=0;
					for(int k=0;k<S[j].size();k++) if(tf[id[x]][S[j][k]]) t+=S[j][k];
					if(t){
						add(sum[id[x]],j,t);
						if(j!=x && id[j] && tf[id[j]][y]) add(sum[id[j]],x,y);
					}
				}
			}
			else if(S[x].size()>bound){
				tf[id[x]][y]=true;
				for(int j=0;j<V[y].size();j++){
					add(sum[id[x]],V[y][j],y);
					if(id[V[y][j]]) add(sum[id[V[y][j]]],x,y);
				}
				add(sum[id[x]],x,y);
			}
			else if(S[x].size()<bound) for(int j=1;j<=tot;j++) if(tf[j][y]) add(sum[j],x,y);
			insert(root[y],x,1,n);V[y].push_back(x);
		}
		else{
			scanf("%d",&l);
			if(S[x].size()<bound){
				int tot=0;
				for(int j=0;j<S[x].size();j++)
					tot+=get_tot(root[S[x][j]],y,l,1,n)*S[x][j];
				printf("%d\n",tot);
			}
			else if(S[x].size()>=bound) printf("%d\n",get_sum(sum[id[x]],l)-get_sum(sum[id[x]],y-1));
		}
	}
}