数电笔记——第二章 逻辑代数基础（一）

内容提要

本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定理，然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数。

本章主要内容

• 2.1 概述
• 2.2 逻辑代数中的三种基本运算
• 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
• 2.4 逻辑代数的基本定理
• 2.5 逻辑函数及其描述方法
• 2.6 逻辑函数的化简方法
• 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简

2.1 概述

数字信号是用数码表示的，其数码中只有“1”和“0”两个数字，而“1”和“0”没有数量的意义，表示事物的两个对立面。如电位的高低（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。

逻辑：指事物之间的因果关系。

二值逻辑：只有两种对立逻辑状态的逻辑关系。用“0”和“1”表示不同的逻辑状态。中间值没有意义。

逻辑运算：按某种因果关系进行推理运算。

逻辑代数：称为布尔代数。

主要内容：用数学的方法描述客观事物的逻辑关系。

用途：分析、设计数字电路的主要工具。

2.2 逻辑代数中的三种基本运算

基本运算：“与”、“或”、“非”

一、三种基本运算

与（AND）、或（OR）、非（NOT）

1、“与”逻辑

 A、B条件都具备时，事件Y才发生。

 逻辑代数的描述方法

2、“或”逻辑

 A、B至少有一个条件具备时，事件Y发生。

  逻辑代数的描述方法

3、“非”逻辑

A条件具备时 ，事件Y不发生；

A不具备时，事件Y才发生。

二、几种常用的复合逻辑运算

“与” 、 “或” 、 “非”是三种基本的逻辑运算，任何其它的逻辑运算都以它们为基础表示。

1、与非逻辑（NAND）

与非： 条件 A 、 B 都具备，则 Y 不发生。

2、或非逻辑（NOR）

或非：条件A、B任一具备，则Y 不发生。

3、与或非逻辑（AND-NOR）

4、异或逻辑（EXCLUSIVE OR）

当A，B不同时输出Y为1；而A，B相同时输出Y为0，即“相异为1，相同为0” 。

5、同或逻辑（EXCLUSIVE NOR） 

当A，B相同时输出Y为1；而A，B不同时输出Y为0，即“相异为0，相同为1” 。

[小结]

2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式

一、逻辑代数的基本公式

逻辑代数的基本公式见下表

二、逻辑代数的常用公式

（1）A + AB = A 

证明：A + A·B = A·(1 + B) = A·1 = A

在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去。

 利用运算规则可以对逻辑式进行化简。

（2）A +A'B = A + B

证明：A + A'B = A + AB + A'B = A + B(A + A') = A + B

两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一 项的因子，则此因子是多余的，可以消去。

（3）AB + AB' = A

当两个乘积项相加时，若它们分别包含 B 和 B ' 两个因子而其他因子相同，则两 项定能合并，且可将 B 和 B ' 消去。

（4）A(A + B) = A

变量 A 和包含 A 的和相乘时，其结果等 于 A ，即可以将和消掉。

（5） AB + A'C + BC = AB + A'C

若两个乘积中分别包含A和 两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项能消去。

2.4 逻辑代数的基本定理

一、代入定理

在任何一个包含变量 A 的逻辑等式中，若 以另外一个逻辑式代入式中所有 A 的位置， 则等式成立。

 例如，已知(A + B)' = A' + B'（反演律），若用 B + C代替等式中的B，则可以得到适用于多变量的摩根定理， 即

(A+B+C)'=A'·(B+C)'=A'·B'·C'

二、反演定理

对于任意一个逻辑式 Y ，若将其中所有 的“ • ” 换成“ +” ， “ +” 换成“ •” ， 0 换成 1， 1 换成 0， 原变量换成反变量，反变量换成原 变量 , 则得到结果就是反函数 。

需要注意以下两条规则：

①需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序。

②不属于单个变量上的非号应保留不变。

（保证原函数Y与反函数Y'的变量运算顺序一致）

[注意] 加括号的目的是保证原函数和反函数中变量的运算顺序一致。

三、对偶定理

对于任何一个逻辑式 Y ，若将其中的“ •” 换 成“ +” ， “ +” 换成“ •” ， 0 换成 1 ， 1 换成 0 ，则 得到的一个新逻辑式 Yᴰ，这就是Y 的对偶式。

 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，反之也成立。

注：本文出自对 河北科技大学数字电路技术基础课程任老师 上课内容的学习笔记。