Bin-Packing装箱问题

一、问题简介

        Bin-Packing问题可以描述为：给定一组大小不同的物品和一个容量有限的背包，如何将物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大，且不超过背包容量。这里的物品大小和背包容量均为整数。

        Bin-Packing算法的目标是：将n个物品放入最少数量的背包中，使得每个背包的容量不超过给定值。

        Bin-Packing算法是一种组合优化问题，旨在将一组物品（具有不同的大小）放入有限数量的容器（或“箱子”）中，使得使用的容器数量最小化。该问题属于NP-hard问题，意味着没有已知的多项式时间算法可以解决所有实例。

二、问题分类

装箱问题可分为一维装箱问题，二维装箱问题，三维装箱问题三种：

        （1）一维装箱问题只考虑一个因素，比如重量、体积、长度等。

        （2）二维装箱问题考虑两个因素--给定一张矩形的纸(布料、皮革)，要求从这张纸上剪出给定的大小不一的形状，求一种剪法使得剪出的废料的面积总和最小。常见问题包括堆场中考虑长和宽进行各功能区域划分、停车场区位划分、包装材料裁切时考虑怎样裁切使得材料浪费最少、服装布料裁切、皮鞋制作中的皮革裁切等。

        （3）三维装箱问题考虑三个因素--一般指长、宽、高。装车、装船、装集装箱等要考虑这三个维度都不能超。

•  一维装箱问题建模：

给定一个物品的集合A = {a1,a2,...,an}和容量为s的箱子若干，物品ai的 大小为wi，i = 1,2,...,n，要求在箱子的容量范围内，把A中的物品装入到箱子中， 目标是最小化所使用箱子的数量。 
由于任意一个物品的大小都不超过箱子的容量，所以最优解的箱子数不会超 过物品的数量n，可以定义箱子的集合为B = {b1,b2,...,bn}。根据装箱问题的定义， 通过引入0-1 决策变量yj和xij，定义yj = 1表示箱子bj被使用，否则，yj = 0；定 义xij &