数据结构-二 算法和算法评价

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定义：算法是对问题求解步骤的描述，通过有限序列的指令来实现。

特征：

1. 有穷性：有限步之后结束，不会出现无线循环。
2. 确定性：不存在二义性，算法每个步骤被精确定义。
3. 可行性：受限计算机的能力等因素，有些算法理论上可行，实际上无法完成。
4. 输入：能被计算机处理的各种数据类型。
5. 输出：一至多个程序输出结果。

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算法的复杂度

时间复杂度：

•  它用来衡量算法问题规模增大，算法执行时间增长的快慢。
• 时间复杂度是问题规模的函数：记作T(n)，时间复杂度主要分析T(n)的数量级。
• T(n)=O(f(n))，大O记法，f(n)是算法中基本运算的频度，一般我们考虑最坏情况下的时间复杂度。

空间复杂度：

• 它用来衡量算法随着问题规模增大，算法所需空间增长的快慢。
• 是问题规模函数：S(n)=O(g(n))

 

常用的时间复杂度大小关系：

                 

从左至右，时间性能依次降低。

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复杂度的计算

eg:

int sum=0                      //执行一次
for (int i=0; i<=n; i+1){       // i=0执行一次，i<=n执行n+2次，i+1执行n+1次
    sum=sum+i;                  // 执行n+1次
}

时间分析:

      共执行（3n+6）个语句，每个语句执行时间为常数t，执行总的时间T=(3n+6)*t。

随着n增大，T与n的增长率一致。所以复杂度为O(n)。

复杂度是关于增长率的，因此忽略常数项，一般直接关注循环段的基本操作的执行次数。

 

单个循环体

关注循环体的执行次数，设为k.

int sum=0;
for(int i=0;i<=n;i++){
    sum=sum+i;
}

循环体执行次数：k=n+1

时间复杂度为O(n)

 

int sum = 0;
for (int i=0; i<=n; i=pow(2,n)){
    sum = sum + i;
    }

那么，，当  时，跳出循环。

所以执行次数为[]，所以时间复杂度logn。

多个循环体

两个运算规则：乘法规则和加法规则

for (i=1;i<=n;i++)
    x++;

for (j=1;j<=n;j++)
    for(k=1;k<=n;k++)
        x++;

两个循环体是独立的，采用加法规则

时间复杂度为：

 

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=n;j=pow(2,j)){
        sum = sum + j;
    }
}

两个循环体是嵌套的，采用乘法规则：

时间复杂度为：

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空间复杂度

空间复杂度S(n)指算法运行过程中所有的使用辅助空间的大小。

记为：

• 辅助空间：除了存储算法本身的指令、常数、变量和输出数据伊娃，还需要存储对数据操作的存储单元。