UVA 10375 Choose and divide （唯一分解定理）

题面：

Choose and divide
The binomial coefficient C(m; n) is defined as C(m; n) =m!/(m -n)! n! Given four natural numbers p, q, r, and s, compute the the result of dividing C(p; q) by C(r; s).

Input
Input consists of a sequence of lines. Each line contains four non-negative integer numbers giving values for p, q, r, and s, respectively, separated by a single space. All the numbers will be smaller than 10,000 with p q and r s.

Output
For each line of input, print a single line containing a real number with 5 digits of precision in the fraction, giving the number as described above. You may assume the result is not greater than 100,000,000.

Sample Input
10 5 14 9
93 45 84 59
145 95 143 92
995 487 996 488
2000 1000 1999 999
9998 4999 9996 4998

Sample Output
0.12587
505606.46055
1.28223
0.48996
2.00000
3.99960

题意：

       设C(m,n) = m! / ((m - n)! * n!)，输入正整数p、q、r、s，输出C(p,q)/C(r,s)。

解题：

       因为结果为小数，看着好像可以直接算，但是直接算会有两个问题。一，会爆数据范围，二，一边乘一边除会造成严重的精度丢失。

定理：

     【 唯一分解定理 】

   任何一个大于1的自然数N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P₁^a1P₂^a2P₃^a3......P_n^an，这里P_1<P_2<P_3......<P_n均为质数，其中指数a_i是正整数。这样的分解称为N的标准分解式。

结合以上定理，我们可以开一个数组，记录每个因子的个数，乘的加，除的减。并且在原式上可以做一点点优化，可以转换为(q+1)*(q+2)*.......(p-1)*p*(r-s)!/((p-q)!*(s+1)*(s+2)*......(r-1)*r)。因为，分解占用比较多时间，但对于非素数，分解还是比较快的，用时880ms。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
int num[100010];
void cal(int x,bool flag)
{
	int ix=2;
	if(flag)
	{
		while(x>1)
		{
			while(x%ix==0)
			{
				num[ix]++;
				x/=ix;
			}
			ix++;
		}
	}
	else
	{
		while(x>1&&x>=ix)
		{
			while(x%ix==0)
			{
				num[ix]--;
				x/=ix;
			}
			ix++;
		}
	}
}
int main()
{
	int p,q,r,s;
	double ans;
	while(~scanf("%d%d%d%d",&p,&q,&r,&s))
	{
		ans=1.0;
		memset(num,0,sizeof(num));
        for(int i=q+1;i<=p;i++)
			cal(i,1);
		for(int i=1;i<=(p-q);i++)
			cal(i,0);
		for(int i=1;i<=(r-s);i++)
			cal(i,1);
		for(int i=s+1;i<=r;i++)
			cal(i,0);
		for(int i=1;i<=100000;i++)
		{
			if(num[i]>0)
               ans*=pow(1.0*i,num[i]);
			else
			   ans/=pow(1.0*i,-num[i]);
		}
		printf("%.5lf\n",ans);
	}
	return 0;
}

优化：

    因为数据范围只到100000，我们可以预先判断是不是素数，是素数就不必进行分解了。优化之后，840ms(好弱的优化)。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
int num[100010];
bool is_prime[100010];
void init()
{
	memset(is_prime,-1,sizeof(is_prime));
	for(int i=2;i<=100000;i++)
		if(is_prime[i])
			for(int j=2*i;j<=100000;j+=i)
				is_prime[j]=0;
}
void cal(int x,int flag)
{
	int ix=2;
	while(x>1)
	{
		while(x%ix==0)
		{
			num[ix]+=flag;
			x/=ix;
		}
		ix++;
	}
}
int main()
{
	int p,q,r,s;
	double ans;
	while(~scanf("%d%d%d%d",&p,&q,&r,&s))
	{
		ans=1.0;
		memset(num,0,sizeof(num));
        for(int i=q+1;i<=p;i++)
			if(is_prime[i])
				num[i]++;
			else
			  cal(i,1);
		for(int i=1;i<=(p-q);i++)
			if(is_prime[i])
				num[i]--;
		    else
			    cal(i,-1);
		for(int i=1;i<=(r-s);i++)
			if(is_prime[i])
				num[i]++;
		   else
		      cal(i,1);
		for(int i=s+1;i<=r;i++)
			if(is_prime[i])
				num[i]--;
		    else
			   cal(i,-1);
		for(int i=1;i<=100000;i++)
		{
			if(num[i]>0)
               ans*=pow(1.0*i,num[i]);
			else
			   ans/=pow(1.0*i,-num[i]);
		}
		printf("%.5lf\n",ans);
	}
	return 0;
}