HDU 1098 Ignatius's Puzzle（解法汇集）_ignatius's puzzle csdn-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/David_Jett/article/details/44855947

本文探讨了一道数学问题，即寻找一个最小的正整数a，使得多项式f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x对于任意自然数x都能被65整除。提供了四种不同的解法，包括特殊值法、数学归纳法、费马小定理的应用以及求解线性同余方程的方法。

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题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1098

题意：

求针对输入的k，能否找到一个最小的a，使得当x取任意自然数时，f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x始终能被65整除。

我的解法：

取f(1),f(2)两个特殊值得。

1. 5+13+k*a=65*T1 ->> k*a=47+65*T3

2. 5*2^13+13*2^5+2*k*a=65*T2 ->> 41376+2*k*a=65*T2 ->> 636*65+36+2*k*a=65*T2 ->> 2*k*a=29+65*T4

由1,2化简的式子做差可得，k*a+18=65*(T4-T3)。

故只需从1开始枚举a的值，到65为止。如果期间有可以整除65的值，输出，break，找不到，就输出'no'。因为a大于65时，可以将a分成65+x，65可以整除，移到右边，x的情况在前面已经枚举过了，故只要到65即可。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int k,i;
    while(scanf("%d",&k)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=65;i++)
        {
            if((18+k*i)%65==0){printf("%d\n",i);break;}
        }
        if(i>65)printf("no\n");
    }
    return 0;
}

解法2：

原文链接：http://blog.youkuaiyun.com/zcy20121105/article/details/7854926

思路：题目的关键是函数式f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x; 用数学归纳法证明：x取任何值都需要能被65整除..

所以我们只需找到f(1)成立的a,并在假设f(x)成立的基础上,
证明f(x+1)也成立即可。
那么把f(x+1)展开，则f(x+1 ) = f (x) + 5*( (13 1 ) x^12 ...... .....+(13 13) x^0 )+ 13*( (5 1 )x^4+...........+ ( 5 5 )x^0 )+k*a;

很容易证明，除了5*(13 13) x^0 、13*( 5 5 )x^0 和k*a三项以外,其余各项都能被65整除.
那么也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.
而f(1)也正好等于18+k*a

所以,只要找到a,使得18+k*a能被65整除,也就解决了这个题目.

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int k,i;
	while(scanf("%d",&k)!=EOF)
	{
		for(i=1;i<=10000;i++)
		{
			if((18+k*i)%65==0){printf("%d\n",i);break;}
		}
		if(i>10000)printf("no\n");
	}
	return 0;
}

解法3：

原文链接：http://www.cnblogs.com/zlyblog/archive/2012/07/14/2591513.html

f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x=x(5*x^12+13*x^4+k*a)，这个函数的形式直接就是费马小定理的形式

费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1

对f(x)=x(5*x^12+13*x^4+k*a)用此定理分析：

（1）如果x是65的倍数，那么已经符合65整除f(x)

（2）如果x是5的倍数，只要5*x^12+13*x^4+k*a被13整除即可，去掉13的倍数13*x^4，也即5*x^12+k*a被13整除，由费马小定理，5与13互质，13是质数，所以x^(13-1)模13余1，所以5*x^12模13余5，要使5*x^12+k*a被13整除，k*a必须模13余8(k*a≡8(mod 13))

（3）如果x是13的倍数，类似（2），需要13*x^4+k*a被5整除，由费马小定理类似得到x^4模5余1，所以13*x^4模5余3，k*a必须模5余2(k*a≡8(mod 13))

（4）如果x不含5和13这两个因子，则需要5*x^12+13*x^4+k*a被65整除了，等价于既要被5整除，又要被13整除，就相当于以上(2)(3)两种情况的条件要同时满足，所以有 k*a≡2(mod 5) 并且 k*a≡8(mod 13)

代码：

//杭电1098Ignatius's puzzle
#include<stdio.h>
int main()
{
    int k,i,flag;
    while(scanf("%d",&k)!=-1)
    {
        for(i=1;i<66;i++)
        {
            if(i*k%13==8&&i*k%5==2)
            {
                flag=i;
                break;
            }
            else
                flag=0;
        }
        if(flag)
            printf("%d\n",flag);
        else
            printf("no\n");
    }<p style="margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; padding-top: 0px; padding-bottom: 0px; font-family: Arial; font-size: 14px; line-height: 26px;">
</p>
    return 0;
}

解法4：

原文链接：http://blog.youkuaiyun.com/yhrun/article/details/6749201

<p style="margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; padding-top: 0px; padding-bottom: 0px; font-family: Arial; font-size: 14px; line-height: 26px;">题目大意：方程f(x)=<span style="font-family: 'Times New Roman';">5*x^13+13*x^5+k*a*x；输入任意一个数k，是否存在一个数a，对任意x都能使得f(x)能被65整出；输入a；</span></p><p style="margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; padding-top: 0px; padding-bottom: 0px; font-family: Arial; font-size: 14px; line-height: 26px;"><span style="font-family: 'Times New Roman';">解题报告：假设存在这个数a ,因为对于任意x方程都成立，所以，当x=1时f(x)=18+ka;有因为f(x)能被65整出，这可得出f(x)=n*65;</span></p><p style="margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; padding-top: 0px; padding-bottom: 0px; font-family: Arial; font-size: 14px; line-height: 26px;"><span style="font-family: 'Times New Roman';">即：18+ka=n*65;若该方程有整数解则说明假设成立。</span></p><p style="margin-top: 0px; margin-bottom: 0px; padding-top: 0px; padding-bottom: 0px; font-family: Arial; font-size: 14px; line-height: 26px;"><span style="font-family: 'Times New Roman';">对于方程有整数解：a*x+b*y=m;如a，b的最大公约数为1，则有整数解</span></p>

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int fun(int m,int n)
{
    int a=m;int b=n;int c;
    if(a>=b)
    {
        while(b)
        {
            c=a%b;a=b;b=c;
        }
        return a;
    }
    else 
    {
        while(a){
        c=b%a;b=a;a=c;
        }
        return b;
    }
}
int main()
{
    int m;
    while(cin>>m)
    {
        if(fun(65,m)==1)
        {
            for(int i=1;;i++)
            {
                if((i*65-18)%m==0)
                {cout<<(i*65-18)/m<<endl;break;}
            }
        }
        else cout<<"no"<<endl;
    }
}