得到的旋转向量和平移向量转换成旋转矩阵 (SE(3))

本文详细介绍如何使用OpenCV和Eigen库将旋转向量转换为旋转矩阵,并进一步转化为四元数,同时展示了如何结合平移向量构建SE(3)变换矩阵。通过实例代码,深入解析了从旋转向量到四元数的转换过程。

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理论过程
头文件说明
1.使用罗德里格斯公式需要包含头文件为#include<opencv2/calib3d.hpp>
2.使用函数cv2eigen需要包含头文件<opencv2/core/eigen.hpp>,但是在则之前要包含一个对eigen定义的头文件,否则会报eigen.hpp文件的错,所以使用cv2eigen函数应该这样写头文件

#include<eigen3/Eigen/Dense>//for cv2eigen()
#include <opencv2/core/eigen.hpp>//for cv2eigen()

把旋转向量转换成旋转矩阵SO(3),使用罗德里格斯公式进行转换

需要注意到的是solvepnp函数解出来的是旋转向量r,将r转换成r=theta*u;其中u是旋转向量进行单位化后的单位向量,theta是旋转向量的模,这个theta在计算正弦值是需要把这个theta当作弧度去计算而不是角度
实践
有旋转向量rvec如下

rvec=[-0.02387454801078471;
 0.02952769731891602;
 0.02088407602780516]

通过这一段代码,先把旋转向量rvec通过罗德里格斯公式计算得到旋转矩阵R,在把在cv下定义的旋转矩阵R转换到Eigen下定义的矩阵r

cv::Mat R;
cv::Rodrigues(rvec,R);
Eigen::Matrix3d r;
cv::cv2eigen(R,r);

然后对应的有平移向量tvec如下

tvec=[0.005806541820330855;
 0.001584643814482065;
 0.003887003832579859]

通过下一段代码就能的到对应的旋转矩阵SE(3)了

Eigen::Isometry3d T = Eigen::Isometry3d::Identity();
Eigen::AngleAxisd angle(r);
cout<<"translation"<<endl;
T=angle;
T(0,3) = result.tvec.at<double>(0,0); 
T(1,3) = result.tvec.at<double>(0,1); 
T(2,3) = result.tvec.at<double>(0,2);

 

Mat rvec, tvec, inliers;
cv::solvePnPRansac( pts3d, pts2d, K, Mat(), rvec, tvec, false, 100, 4.0, 0.99, inliers );
num_inliers_ = inliers.rows;
cout<<"pnp inliers: "<<num_inliers_<<endl;
cv::Mat R;
cv::Rodrigues(rvec,R);//先把旋转向量rvec通过罗德里格斯公式计算得到旋转矩阵R
Eigen::Matrix3d r;
cv::cv2eigen(R,r);//在把在cv下定义的旋转矩阵R转换到Eigen下定义的矩阵r
Eigen::Quaterniond q =Eigen::Quaterniond(r);
cout<<"quaterniond =\n"<< q.coeffs()<<endl;// x y z w
//    cout << endl << "Saving camera pose trajectory to " << filename << " ..." << endl;
//    ofstream f;
//    f.open(filename.c_str());
//    f << fixed;

    cv::Mat R;
    cv::Rodrigues(rvec,R);//先把旋转向量rvec通过罗德里格斯公式计算得到旋转矩阵R
    Eigen::Matrix3d r;
    cv::cv2eigen(R,r);//在把在cv下定义的旋转矩阵R转换到Eigen下定义的矩阵r
    Eigen::Matrix<double,3,3> M=r;
    Eigen::Quaterniond q(M);
    std::vector<double> v(4);
    v[0] = q.x();
    v[1] = q.y();
    v[2] = q.z();
    v[3] = q.w();
    //vector<float> q = Converter::toQuaternion(r);

    //cout<<"r=\n"<<r<<endl;
    //cout<<"R=\n"<<R<<endl;
    //cout<<"T(0,3)=\n"<<tvec.at<double>(0,0)<<endl;
//<< setprecision(6) << *lT << " " <<  setprecision(9)
    ofstream outfile("data.txt",ios::trunc);
    outfile.open("data.txt");
  //  f << tvec.at<double>[0] << " " << tvec.at<double>[1] << " " << tvec.at<double>[2] << " " << q[0] << " " << q[1] << " " << q[2] << " " << q[3] << endl;
    outfile<< tvec.at<double>(0,0) << " " << rvec.at<double>(1,0) << " " << rvec.at<double>(2,0)<< " " << v[0] << " " << v[1] << " " << v[2] << " "<< v[3] << endl;
    outfile.close();//    cout<<" "<<Eigen::Matrix<double, 0, 1><<endl;
//    f.close();
//    cout << endl << "trajectory saved!" << endl

 

 

<think>好的,我需要回答用户关于SLAM中exp(a^)的问题,特别是用户问a是否是旋转矩阵R对应的旋转向量。首先,我要回忆之前给出的解释,确保这次回答的一致性。 用户之前的问题是询问exp(a^)的意义,我解释了李群李代数,提到a是李代数中的向量,通过指数映射得到李群中的元素R。现在用户进一步确认,a是否就是旋转向量。 首先,我需要明确旋转向量李代数的关系。在SO(3)的情况下,旋转向量确实对应李代数元素,但需要区分旋转向量一般李代数向量。比如,旋转向量的模长是旋转角度,而李代数元素可能还包含其他信息,尤其是在SE(3)中。 可能需要详细说明SO(3)的情况,明确a作为旋转向量时,其与李代数元素的关系。同时,要指出在SO(3)中,旋转向量确实对应李代数,但a的更一般定义是李代数中的元素,而不仅仅是旋转向量,特别是当考虑平移时,比如在SE(3)中,a会有6维,包含旋转平移部分。 还需要注意,用户可能混淆了旋转向量一般李代数参数,因此需要明确两者的联系与区别。比如,在纯旋转情况下,a是三维向量,可以视为旋转向量,其方向是旋转轴,模长是角度。而在更一般的情况下,如SE(3)中,a是六维向量,前三维是旋转,后三维是平移。 此外,需要确认指数映射的具体形式,比如罗德里格斯公式,将旋转向量转换为旋转矩阵,说明这实际上是exp(a^)的一个具体实现。这样用户能理解两者的等价性。 另外,用户可能的问题在于,是否所有情况下a都是旋转向量,或者是否有其他情况,比如当处理的是SE(3)时,a的结构不同。需要明确应用场景,避免用户误解。 最后,确保用例子公式来支持解释,比如给出旋转向量旋转矩阵的转换公式,以及李代数的反对称矩阵表示,这样用户能更直观地理解。同时,可能需要提到在优化过程中,a作为增量进行更新的过程,强调其在SLAM中的实际应用。 需要检查是否有术语使用不当的地方,比如“旋转向量”是否准确对应李代数的元素,或者是否有更精确的术语。例如,在SO(3)中,李代数元素确实可以视为旋转向量,但更准确的说法是旋转向量对应的反对称矩阵属于李代数。 总结来说,回答需要: 1. 确认在SO(3)中,a是旋转向量对应的李代数元素。 2. 解释旋转向量与李代数的关系,包括模长是旋转角度,方向是旋转轴。 3. 提到SE(3)的情况,a包含更多信息。 4. 使用公式例子说明转换过程。 5. 指出在优化中的应用,说明a作为增量参数的作用。 需要避免过于技术化的术语,用用户容易理解的语言,同时保持准确性。可能需要用比喻或类比帮助理解,比如将指数映射比作从切线空间到流形的映射。</think>在 SLAM 中,当讨论 $\exp(a^\wedge)$ 时,需要明确不同场景下的具体含义。以下是分步解释: --- ### **1. SO(3) 中的旋转(纯旋转情况)** - **旋转向量**:若 $a \in \mathbb{R}^3$ 是一个 **旋转向量**,其方向表示旋转轴,模长 $\|a\|$ 表示旋转角度。例如,$a = \theta \cdot \mathbf{u}$,其中 $\theta$ 是旋转角度,$\mathbf{u}$ 是单位旋转轴。 - **李代数**:此时 $a$ 对应的反对称矩阵 $a^\wedge \in \mathfrak{so}(3)$(李代数),其形式为: $$ a^\wedge = \begin{bmatrix} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \end{bmatrix}. $$ - **指数映射**:通过 $\exp(a^\wedge)$ 可计算对应的旋转矩阵 $R \in SO(3)$。这一过程等价于 **罗德里格斯公式**: $$ R = \cos\theta \cdot I + (1-\cos\theta) \cdot \mathbf{u}\mathbf{u}^T + \sin\theta \cdot \mathbf{u}^\wedge. $$ **结论**: 在纯旋转情况下(SO(3)),$a$ 是旋转向量,$\exp(a^\wedge)$ 的结果 $R$ 是该旋转向量对应的旋转矩阵。此时 **$a$ 既是李代数元素,也是旋转向量**。 --- ### **2. SE(3) 中的刚体变换(旋转+平移)** 当问题扩展到三维刚体运动(SE(3))时: - **李代数参数**:$a$ 扩展为 6 维向量,记作 $\xi = [\rho, \phi]^T \in \mathbb{R}^6$,其中: - $\phi \in \mathbb{R}^3$:对应旋转部分(类似 SO(3) 的旋转向量)。 - $\rho \in \mathbb{R}^3$:对应平移部分。 - **指数映射**:$\exp(\xi^\wedge)$ 生成一个 4×4 的刚体变换矩阵 $T \in SE(3)$,形式为: $$ T = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, $$ 其中 $R = \exp(\phi^\wedge)$ 是旋转矩阵,$t = J\rho$($J$ 是雅可比矩阵)。 **结论**: 在 SE(3) 中,$a$(即 $\xi$)包含旋转平移分量,**旋转部分 $\phi$ 是旋转向量**,而平移部分 $\rho$ 是平移向量。 --- ### **3. 关键区别** - **SO(3)**:$a$ 是纯旋转向量,与李代数一一对应。 - **SE(3)**:$a$ 是 6 维李代数参数,前 3 维是旋转向量,后 3 维是平移向量。 --- ### **4. SLAM 中的实际应用** - **优化问题**:在位姿优化中,通常将位姿 $T$ 表示为 $\exp(\xi^\wedge)$,并通过调整 $\xi$(李代数参数)最小化重投影误差。例如: $$ T_{\text{new}} = T_{\text{old}} \cdot \exp(\delta\xi^\wedge), $$ 其中 $\delta\xi$ 是李代数空间中的增量。 - **代码示例**(使用 Sophus 库): ```cpp // SO(3) 示例 Eigen::Vector3d a(0.1, 0.2, 0.3); // 旋转向量 Sophus::SO3d R = Sophus::SO3d::exp(a); // exp(a^) 得到旋转矩阵 ``` --- ### **总结** - **在 SO(3) 中**:$a$ 是旋转向量,$\exp(a^\wedge)$ 将其转换为旋转矩阵 $R$。 - **在 SE(3) 中**:$a$ 是 6 维李代数参数,前 3 维为旋转向量,后 3 维为平移向量。 - **核心作用**:通过李代数 $a$ 的指数映射,将优化问题从复杂的流形(李群)转换到向量空间(李代数),便于求导迭代。
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