NOIP夏令营day3课程总结

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 今天收获很大，主要学习了基本数据结构和图论。
    基本数据结构分为线形结构和树形结构，关于线形结构，主要就是链表、栈和队列。链表用的比较少，栈一般用来解决表达式求值的问题，有一道等价表达式的noip题目，以后可以做一下，还有就是队列，在bfs中应用很多，关键我要说的是树形结构：
①二叉和N叉哈夫曼树：哈夫曼树也叫最优二叉树，意思就是带权路径长度（WPL）最短，WPL的计算公式：叶节点权值*叶到根的路径长度。主要应用就是Huffman编码，如图就是一个N叉huffman树：

编码：A：0      B：2 0     C：2 2        D：1        E：2 1
②堆：堆是一个特殊的二叉树（也叫优先队列），可以动态的维护最大（小）值，时间复杂度是O(logN)的，比较高效，用于反复调用最大或最小值的问题，而且，堆还可以优化dijstra算法，经典题目：合并果子。
③二叉搜索树：基本操作就是查找元素、构造和删除。时间复杂度一般是O(N*logN)的，若二叉树有序，则是O(N^2)的，原理就是左孩子小，右孩子大的原则。
④并查集：三个操作：1.合并两个不相交的集合。2.判断两个元素是否在同一集合（利用了路径压缩）。3.路径压缩（维护了并查集）。合并集合，就是将一个集合中所有的节点连接到另一个根上。判断：将要判断的元素回溯至根，再判断根是否相同，回去之后要立刻做一做《亲戚》这道题，还可以做一下《银河英雄传说》、《pority》和《关押罪犯》。

下面总结一下图论，图论之前没有很看过，几天算是刚刚接触。图结构有点（V）和边（E），点有度，边有权，是对图的描述吧。图的储存结构一般有4个：1.邻接表。2.邻接矩阵。3.边集数组。4.前向星。还有图的遍历，这个不是很懂：分为bfs和dfs两种。

再说一下生成树问题，主要就是无向图的最小生成树（MST），其所有边的权值之和不会大于任何其他的生成树，就是连接所有点的最低成本路线，其算法原理有4个：环属性、剪切属性、最小边缘则和唯一性，这里有两种算法求最小生成树：

①Prim（普里姆）算法。

②Kruskal（克鲁斯卡尔）算法：要用到并查集的合并与查找。

关于生成树这部分，我听懂了原理，但是不知道具体有什么应用，回来一定要解决这个问题。还有拓扑排序的问题，不是很懂。

我觉得比较重要的就是最短路径的问题了，最短路径有两个属性：

①三角形性质：dis[x]+len[x][y]>=dis[y].

②松弛：不符合三角形性质。if( dis[x]+len[x][y]<dis[y] )   dis[y]= dis[x]+len[x][y].

下面四种不同的求最短路的算法就是利用了这两个性质。

①Dijkstra（迪杰斯特拉）算法：适用于边无负权的问题，可以用堆来优化，时间复杂度为O(N*N)，分为三步：选择+标记+扩展。用堆优化后是O(N*logN)。

②Bellman-ford算法：这个算法可以处理边有负权的问题，而且可以判断负环，时间是O(N*E)的，原理就是不断松弛，若N次之后还可以松弛，则有负环。

③SPFA算法：这是对Bellman-ford的一个算法一个改进，时间是O(K*E)的。被松弛过的点x，看x是否可以松弛其他的点，用队列存放x，一般用“循环队列”。

以上三个算法均为求一个顶点到其他顶点的最短路径（单源最短路径）。

④floyed（弗洛伊德）算法：可以求每对顶点间的最短路径，时间O(N*N*N)，原理：图的传递闭包思想。

if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j])   d[i][j]= d[i][k]+d[k][j].    floyed的实质是一种动态规划。

总之对于这四种求最短路的算法，我懂原理，但是实际中我并不会应用到题目中去，代码实践也有问题，包括今天学的树相关的东西。

注意练习！